Математическое ожидание и дисперсия для произвольных x и (W, f, Р) (общий случай)

(W, f, Р) - вероятностное пространство (произвольное), x - (измеримая) случайная величина.

Определение: Математическим ожиданием случайной величины x является: Мx = x(w) Р(dw) = x dР.

Свойства математического ожидания:

Теорема: Пусть x = x(w) – неотрицат.случ. величина. Построим последовательность простых неотрицательных случайных величин {x_n}_n³1: x_n(w) ­ x(w), n®¥, " wÎW. Поскольку Мx_n £ Мx_n+1, то $ Мx_n - конечный или бесконечный.

Тогда Мx º Мx_n (интеграл Лебега или математическое ожидание).

Значение этого предела не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности {x_n}, т.е. если x_n­ x и h_m­ h, где {h_m}-последовательность простых функций, то Мx_n = Мh_m. (*)

Лемма: Пусть h и x_n - простые случайные величины, n ³ 1, причём x_n ­ x ³ h. Тогда Мx_n ³ Мh.

Доказательство:

Пусть e > 0 и А_n = {w: x_n ³ h - e}. Ясно, что А_n ­ W и x_n = x_n× + x_n× ³ x_n× ³ (h - e)× .

Поэтому, используя свойства от простых случайных величин, находим, что

и Мx_n ³ М(h - e)× = Мh - eР(А_n) = Мh - Мh - eР(А_n) ³ Мh - СР()- e,

где С = h(w). Отсюда в силу произвольности e > 0 вытекает требуемое неравенство. Из этой леммы Þ Мx_n ³ Мh_m и по симметрии Мh_m ³ Мx_n, что и доказывает (*).

Замечание: Для математического ожидания Мx от неотрицательной случайной величины x имеет место следующее представление: Мx = Ms, (*)

где S = {s} - множество простых неотрицательных случайных величин.

Свойства математического ожидания:

Свойство 1: Пусть с - постоянная и Мx существует. Тогда М(сx) также существует и

М(сx) = с×Мx.

Доказательство:

Для простых случайных величин утверждение очевидно. Пусть x ³ 0, x_n ­ x, где x_n - простые случайные величины, и с ³ 0. Тогда сx_n ­ сx и, значит,

М(сx) = М(сx_n) = с Мx_n = с×Мx.

В общем случае надо рассмотреть представление x = x⁺ - x^- и заметить, что для с ³ 0,

(сx)⁺ = сx⁺, (сx)^- = сx^-, а для с < 0, (сx)⁺ = -сx^-, (сx)^- = -сx⁺.

Свойство 2: Пусть x £ h, тогда Мx £ Мh, в том смысле, что

если - ¥ < Мx, то - ¥ < Мh и Мx £ Мh ИЛИ если Мh < ¥, то Мx < ¥ и Мx £ Мh.

Доказательство:

Если 0 £ x £ h, то Мx и Мh определены и неравенство Мx £ Мh сразу следует из формула (*), которое в замечание. Пусть теперь Мx > - ¥, тогда Мx^- < ¥. Если x£h, то x⁺£h⁺и x^-³h^-. Поэтому Мh^- £ Мx^- < ¥, следовательно, Мh определено и Мx = Мx⁺ - Мx^- £ Мh⁺ - Мh^- = Мh.

Аналогичным образом рассматривается случай, когда Мh< ¥.

Свойство 3: Если Мx существует, то |Мx| £ М|x|.

Доказательство:

Поскольку -|x| £ x £ |x|, то из свойств 1и 2 Þ -М|x| £ Мx £ М|x|, т.е. |Мx| £ М|x|.

Свойство 4: Если Мx существует, то для каждого А Î f М(xI_A) также существует, если Мx конечно, то М(xI_A) также конечно.

Доказательство:

Следует из 2 и того, что (xI_A)⁺ = x⁺I_A £ x⁺, (xI_A)^- = x^-I_A £ x^-.

Свойство 5: Если x и h — неотрицательные случайные величины, или такие, что М|x| < ¥, М|h| < ¥, то М(x + h) = Мx + Мh.

Доказательство:

Пусть x ³ 0, h ³ 0 и пусть {x_n}и {h_n} - последовательности простых функций таких, что {x_n}­x и {h_n}­h. Тогда М(x_n + h_n) = Мx_n+ Мh_n и М(x_n + h_n)­ М(x + h), Мx_n­Мx, Мh_n­Мh и, значит М(x + h) = Мx + Мh. Случай, когда Мx < ¥, Мh < ¥, сводится к рассмотренному, если воспользоваться тем, что x = x⁺- x^-, h = h⁺- h^-, x⁺ £ |x|, x^- £ |x| и h⁺ £ |h|, h^- £ |h|.

Свойство 6: Если x = 0 почти наверное, то Мx = 0.

Доказательство:

В самом деле, если x - простая случайная величина, x = å х_к (w) и х_к ¹ 0, то по условию Р(А_к) = 0, а значит, Мx = 0. Если же x ³ 0 и 0 £ s £ x, где s - простая случайная величина, то s=0 почти наверное, а следовательно Мs = 0 и Мx = Ms = 0. Общий случай сводится к рассмотренному обычным переходом к представлению x = x⁺- x^-, x⁺ £ |x|, x^- £ |x| и |x| = 0 почти наверное.

Свойство 7: Если x = h почти наверное и М|x| < ¥, то М|h| < ¥ и Мx = Мh.

Доказательство:

Пусть N = {w: x¹h}. Тогда P(N) = 0 и x = x + x , h = h + h = h + x . По свойству 5 и 6 Мx = Мx + Мx = Мx = Мh . Но Мh = 0, поэтому по свойству 5

Мx = Мh + Мh = Мh.

Свойство 8: Пусть x ³ 0 и Мx = 0. Тогда x = 0 почти наверное.

Доказательство:

Обозначим А = {w: x(w) > 0}, A_n = {w: x(w) ³ 1/n}. Ясно, что A_n­A и 0 £ x× £ x . Поэтому по свойству 2 0 £ Мx× £ Мx = 0. Следовательно 0 = Мx× и, значит, P(A_n) = 0 для всех n ³ 1. Но Р(А) = lim P(A_n) и, следовательно, Р(А) = 0.

Свойство 9: Пусть x и h таковы, что М|x| < ¥, М|h| < ¥ и для всех А Î f М(xI_A) £ М(hI_A). Тогда x £ h почти наверное.

Доказательство:

Пусть В = {w: x(w) > h(w)}. Тогда М(hI_В) £ М(xI_В) £ М(hI_В) и, значит, М(xI_В) = М(hI_В). В силу свойства 5 М((x - h)I_В) = 0 и по свойству 8 (x - h)I_В = 0 почти наверное, откуда Р(В) = 0.

Свойство 10: Пусть x - расширенная случайная величина, и М|x| < ¥. Тогда |x| < ¥ почти наверное.

Доказательство:

Пусть А = {w: |x(w)| = ¥} и Р(А) > 0. Тогда М|x| ³ М(|x| I_A) = ¥×Р(А) = ¥, что противоречит предположению М|x| < ¥.

Теорема (о монотонной сходимости): Пусть h, x, x₁, x₂, … — случайные величины.

1) Если x_n ³ h для всех n ³ 1, Мh>-¥ и x_n­x, то Мx_n­Мx.

2) Если x_n £ h для всех n ³ 1, Мh< ¥ и x_n¯x, то Мx_n¯Мx.

Теорема (лемма Фату): Пусть h, x₁, x₂, … — случайные величины.

1) Если x_n ³ h для всех n ³ 1, Мh>-¥, то М x_n £ Мx_n.

2) Если x_n £ h для всех n ³ 1, Мh< ¥, то Мx_n £ М x_n.

3) Если |x_n| £ h для всех n ³ 1, Мh< ¥, то М x_n £ Мx_n £ Мx_n £ М x_n.

Доказательство:

1) Пусть z_n = x_m, тогда x_n = x_m = z_n.

Ясно, что z_n­ x_n и z_n ³ h для всех n ³ 1. Тогда из теоремы о монотонной сходимости

М x_n = М z_n = Мz_n = Мz_n £ Мx_n.

Второе утверждение следует из первого, а третье — есть следствие первого и второго.

Теорема (Лебега о мажорируемой сходимости): Пусть h, x, x₁, x₂, … — случайные величины такие, что |x_n| £ h, Мh< ¥ и x_n ® x (почти наверное). Тогда М|x_n| < ¥,

М|x_n - x| ® 0 при n ® ¥.

Доказательство:

В силу леммы Фату справедлива формула М x_n £ Мx_n £ Мx_n £ М x_n. По предположению x_n = x_n = x (почти наверное). Поэтому по свойству 7

М x_n = Мx_n = Мx_n = М x_n = Мx. Ясно также, |x| £ h. Поэтому М|x|< ¥. Утверждение М|x_n - x| ® 0 доказывается также, если только заметить, что |x_n - x| £ 2h.

Определение: Дисперсией случайной величины x называется величина

Dx = M(x - Mx)².

Величина s = + называется стандартным отклонением.