Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Математическое ожидание и дисперсия для произвольных x и (W, f, Р) (общий случай)



(W, f, Р) - вероятностное пространство (произвольное), x - (измеримая) случайная величина.

Определение: Математическим ожиданием случайной величины x является: Мx = x(w) Р(dw) = x dР.

Свойства математического ожидания:

Теорема: Пусть x = x(w) – неотрицат.случ. величина. Построим последовательность простых неотрицательных случайных величин {xn}n³1: xn(w) ­ x(w), n®¥, " wÎW. Поскольку Мxn £ Мxn+1, то $ Мxn - конечный или бесконечный.

Тогда Мx º Мxn (интеграл Лебега или математическое ожидание).

Значение этого предела не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности {xn}, т.е. если xn­ x и hm­ h, где {hm}-последовательность простых функций, то Мxn = Мhm. (*)

Лемма: Пусть h и xn - простые случайные величины, n ³ 1, причём xn ­ x ³ h. Тогда Мxn ³ Мh.

Доказательство:

Пусть e > 0 и Аn = {w: xn ³ h - e}. Ясно, что Аn ­ W и xn = xn× + xn× ³ xn× ³ (h - e)× .

Поэтому, используя свойства от простых случайных величин, находим, что

и Мxn ³ М(h - e)× = Мh - eР(Аn) = Мh - Мh - eР(Аn) ³ Мh - СР()- e,

где С = h(w). Отсюда в силу произвольности e > 0 вытекает требуемое неравенство. Из этой леммы Þ Мxn ³ Мhm и по симметрии Мhm ³ Мxn, что и доказывает (*).

Замечание: Для математического ожидания Мx от неотрицательной случайной величины x имеет место следующее представление: Мx = Ms, (*)

где S = {s} - множество простых неотрицательных случайных величин.

Свойства математического ожидания:

Свойство 1: Пусть с - постоянная и Мx существует. Тогда М(сx) также существует и

М(сx) = с×Мx.

Доказательство:

Для простых случайных величин утверждение очевидно. Пусть x ³ 0, xn ­ x, где xn - простые случайные величины, и с ³ 0. Тогда сxn ­ сx и, значит,

М(сx) = М(сxn) = с Мxn = с×Мx.

В общем случае надо рассмотреть представление x = x+ - x- и заметить, что для с ³ 0,

(сx)+ = сx+, (сx)- = сx-, а для с < 0, (сx)+ = -сx-, (сx)- = -сx+.

Свойство 2: Пусть x £ h, тогда Мx £ Мh, в том смысле, что

если - ¥ < Мx, то - ¥ < Мh и Мx £ Мh ИЛИ если Мh < ¥, то Мx < ¥ и Мx £ Мh.

Доказательство:

Если 0 £ x £ h, то Мx и Мh определены и неравенство Мx £ Мh сразу следует из формула (*), которое в замечание. Пусть теперь Мx > - ¥, тогда Мx- < ¥. Если x£h, то x+£h+и x-³h-. Поэтому Мh- £ Мx- < ¥, следовательно, Мh определено и Мx = Мx+ - Мx- £ Мh+ - Мh- = Мh.

Аналогичным образом рассматривается случай, когда Мh< ¥.

Свойство 3: Если Мx существует, то |Мx| £ М|x|.

Доказательство:

Поскольку -|x| £ x £ |x|, то из свойств 1и 2 Þ -М|x| £ Мx £ М|x|, т.е. |Мx| £ М|x|.

Свойство 4: Если Мx существует, то для каждого А Î f М(xIA) также существует, если Мx конечно, то М(xIA) также конечно.

Доказательство:

Следует из 2 и того, что (xIA)+ = x+IA £ x+, (xIA)- = x-IA £ x-.

Свойство 5: Если x и h — неотрицательные случайные величины, или такие, что М|x| < ¥, М|h| < ¥, то М(x + h) = Мx + Мh.

Доказательство:

Пусть x ³ 0, h ³ 0 и пусть {xn}и {hn} - последовательности простых функций таких, что {xn}­x и {hn}­h. Тогда М(xn + hn) = Мxn+ Мhn и М(xn + hn)­ М(x + h), Мxn­Мx, Мhn­Мh и, значит М(x + h) = Мx + Мh. Случай, когда Мx < ¥, Мh < ¥, сводится к рассмотренному, если воспользоваться тем, что x = x+- x-, h = h+- h-, x+ £ |x|, x- £ |x| и h+ £ |h|, h- £ |h|.

Свойство 6: Если x = 0 почти наверное, то Мx = 0.

Доказательство:

В самом деле, если x - простая случайная величина, x = å хк (w) и хк ¹ 0, то по условию Р(Ак) = 0, а значит, Мx = 0. Если же x ³ 0 и 0 £ s £ x, где s - простая случайная величина, то s=0 почти наверное, а следовательно Мs = 0 и Мx = Ms = 0. Общий случай сводится к рассмотренному обычным переходом к представлению x = x+- x-, x+ £ |x|, x- £ |x| и |x| = 0 почти наверное.

Свойство 7: Если x = h почти наверное и М|x| < ¥, то М|h| < ¥ и Мx = Мh.

Доказательство:

Пусть N = {w: x¹h}. Тогда P(N) = 0 и x = x + x , h = h + h = h + x . По свойству 5 и 6 Мx = Мx + Мx = Мx = Мh . Но Мh = 0, поэтому по свойству 5

Мx = Мh + Мh = Мh.

Свойство 8: Пусть x ³ 0 и Мx = 0. Тогда x = 0 почти наверное.

Доказательство:

Обозначим А = {w: x(w) > 0}, An = {w: x(w) ³ 1/n}. Ясно, что An­A и 0 £ x× £ x . Поэтому по свойству 2 0 £ Мx× £ Мx = 0. Следовательно 0 = Мx× и, значит, P(An) = 0 для всех n ³ 1. Но Р(А) = lim P(An) и, следовательно, Р(А) = 0.

Свойство 9: Пусть x и h таковы, что М|x| < ¥, М|h| < ¥ и для всех А Î f М(xIA) £ М(hIA). Тогда x £ h почти наверное.

Доказательство:

Пусть В = {w: x(w) > h(w)}. Тогда М(hIВ) £ М(xIВ) £ М(hIВ) и, значит, М(xIВ) = М(hIВ). В силу свойства 5 М((x - h)IВ) = 0 и по свойству 8 (x - h)IВ = 0 почти наверное, откуда Р(В) = 0.

Свойство 10: Пусть x - расширенная случайная величина, и М|x| < ¥. Тогда |x| < ¥ почти наверное.

Доказательство:

Пусть А = {w: |x(w)| = ¥} и Р(А) > 0. Тогда М|x| ³ М(|x| IA) = ¥×Р(А) = ¥, что противоречит предположению М|x| < ¥.

Теорема (о монотонной сходимости): Пусть h, x, x1, x2, … — случайные величины.

1) Если xn ³ h для всех n ³ 1, Мh>-¥ и xn­x, то Мxn­Мx.

2) Если xn £ h для всех n ³ 1, Мh< ¥ и xn¯x, то Мxn¯Мx.

Теорема (лемма Фату): Пусть h, x1, x2, … — случайные величины.

1) Если xn ³ h для всех n ³ 1, Мh>-¥, то М xn £ Мxn.

2) Если xn £ h для всех n ³ 1, Мh< ¥, то Мxn £ М xn.

3) Если |xn| £ h для всех n ³ 1, Мh< ¥, то М xn £ Мxn £ Мxn £ М xn.

Доказательство:

1) Пусть zn = xm, тогда xn = xm = zn.

Ясно, что zn­ xn и zn ³ h для всех n ³ 1. Тогда из теоремы о монотонной сходимости

М xn = М zn = Мzn = Мzn £ Мxn.

Второе утверждение следует из первого, а третье — есть следствие первого и второго.

Теорема (Лебега о мажорируемой сходимости): Пусть h, x, x1, x2, … — случайные величины такие, что |xn| £ h, Мh< ¥ и xn ® x (почти наверное). Тогда М|xn| < ¥,

М|xn - x| ® 0 при n ® ¥.

Доказательство:

В силу леммы Фату справедлива формула М xn £ Мxn £ Мxn £ М xn. По предположению xn = xn = x (почти наверное). Поэтому по свойству 7

М xn = Мxn = Мxn = М xn = Мx. Ясно также, |x| £ h. Поэтому М|x|< ¥. Утверждение М|xn - x| ® 0 доказывается также, если только заметить, что |xn - x| £ 2h.

Определение: Дисперсией случайной величины x называется величина

Dx = M(x - Mx)2.

Величина s = + называется стандартным отклонением.





Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 246 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.015 с)...