Математическое ожидание и дисперсия для простых x и конечного (W, f, Р)

(W, f, Р) - конечное вероятностное пространство.

Определение: Функция x называется простой если

$ nÎ N, $ $ : : x(w) = , где индикатор =

Определение: Матем.ожиданием или средним знач. случайной величины x(w) = называется число Мx = .

Поскольку A_i = {w: x(w) = x_i} и P_x(x_i) = P(A_i), то Мx = .

Основные свойства математических ожиданий:

1. Если x ³ 0, то Мx ³ 0.

2. М(ax + bh) = a×Mx + b×Mh, a, b - постоянные.

3. Если x ³ h, то Мx ³ Мh.

4. |Мx| £ М|x|.

5. Если x и h - независимы, то Мxh = Мx×Мh.

6. (М|xh|)² £ Мx²×Мh² (неравенство Коши - Буняковского).

7. Если x = I(A), то Мx = Р(А).

Определение: Дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx)² =М(x² - 2x×Mx + (Мx)²) = Mx² - (Mx)².

Дисперсия характеризует степень разброса значений x относительно её математического ожидания.

Из определения ясно, что

1. D(a + bx) = b²Dx.

2. D(x + h) = M((x - Mx) + (h - Mh))² = Dx + Dh + 2M(x - Mx)(h - Mh) = Dx + Dh + 2cov(x, h).

3. Если x и h независимы, то D(x + h) = Dx + Dh.