Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
15. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.
Пусть определена на открытом множестве . - точка в D.
ОПР. Говорят, что у = f(x) имеет в точке локальный минимум, если для всех из некоторой окрестности .
Если для всех из данной окрестности выполнено , то говорят, что в точке функция у = f(x) имеет строгий локальный минимум.
Функция f(x) имеет в локальный экстремум, если она имеет в этой точке либо локальный минимум, либо локальный максимум.
ТЕОРЕМА (Необходимое условие) Пусть - функция п переменных, определенная в области и имеющая там частные производные первого порядка. Если является точкой локального экстремума функции f, то
, для всех i = 1,…,n (1)
Доказательство. Рассмотрим функцию одной переменной
Данная функция имеет при локальный экстремум и по соответствующей теореме для одномерного случая можем записать:
, т.е.
Рассуждая так при любом фиксированном i = 2,…,n убеждаемся в справедливости системы равенств (1). Теорема доказана.
Обозначим через - квадратичную форму.
ТЕОРЕМА (Достаточное условие) Пусть у = f(x) - трижды непрерывно дифференцируемая на открытом множестве функция и - ее критическая точка. Если в этой точке , то f имеет в локальный минимум. Если является в этой точке неопределенной квадратичной формой, то f не имеет в локального экстремума
Доказательство.
На основании формулы Тейлора имеем:
В качестве первого шага оценим остаточный член в тейлоровском разложении. Мы имеем
Так как производные третьего порядка непрерывны, то найдутся постоянные А>0 и >0 такие, что
и
Поэтому, выбирая , будем иметь и, следовательно,
Здесь использовано следующее неравенство:
.
Тем самым,
и (1)
Сделаем второй шаг. Предположим, что квадратичная форма в . Рассматривая ее как функцию переменной на единичной сфере |dx| = 1 и, пользуясь теоремой Вейерштрасса о достижимости точной нижней грани непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве, заключаем, что:
для всех dx, , где .
Для произвольного dx имеем: , а потому:
, откуда: .
Пользуясь Тейлоровским разложением для и учитывая вид (1) остаточного члена, получаем:
()
Тем самым, для всех достаточно малых выполнено и - точка локального минимума.
Шаг третий. Пусть в точке . Тогда квадратичная форма , построенная для функции y=--f(x), является положительно определенной. Действительно, мы имеем:
Поэтому функция y=-f(x) имеет в локальный минимум, а функция y=f(x) – локальный максимум.
4-й шаг. Докажем последнее из вышесказанной теоремы. Пусть не определена, т.е. существую n-мерные векторы и такие, что:
и .
Рассмотрим ф-цию вещественного переменного:
и .
При всех достаточно малых t точки и принадлежат множеству D, а потому функции и определены, по крайней мере, при достаточно малых t. По теореме о дифференцировании сложной функции эти функции трижды непрерывно дифференцируемы по t. Мы имеем:
,
Т.к. - критическая точка, то: и , а
Аналогично: и
Таким образом, функция имеет при t = 0 локальный минимум, - локальный максимум. Отсюда заключаем, что в любой окрестности точки х0 найдутся точки и такие, что
и
Тем самым, не является точкой локального экстремума и теорема доказана.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 246 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!