ВОПРОС 15 (1)

15. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.

Пусть определена на открытом мно­жестве . - точка в D.

ОПР. Говорят, что у = f(x) имеет в точке локальный мини­мум, если для всех из некоторой окрестности .

Если для всех из данной окрестности выполнено , то говорят, что в точке функция у = f(x) имеет строгий локальный минимум.

Функция f(x) имеет в локальный экстремум, если она имеет в этой точке либо локальный минимум, либо локальный максимум.

ТЕОРЕМА (Необходимое условие) Пусть - функция п переменных, опре­деленная в области и имеющая там частные производные первого порядка. Если является точкой локального экстремума функции f, то

, для всех i = 1,…,n (1)

Доказательство. Рассмотрим функцию одной переменной

Данная функция имеет при локальный экстремум и по соответствующей теореме для одномерного случая можем записать:

, т.е.

Рассуждая так при любом фиксированном i = 2,…,n убеждаемся в справедливо­сти системы равенств (1). Теорема доказана.

Обозначим через - квадратичную форму.

ТЕОРЕМА (Достаточное условие) Пусть у = f(x) - трижды непрерывно дифференцируемая на открытом множестве функция и - ее критическая точка. Если в этой точке , то f имеет в локальный минимум. Если является в этой точке неопределенной квадратичной формой, то f не имеет в локального экстремума

Доказательство.

На основании формулы Тейлора имеем:

В качестве первого шага оценим остаточный член в тейлоровском разложении. Мы имеем

Так как производные третьего порядка непрерывны, то найдутся постоянные А>0 и >0 такие, что

и

Поэтому, выбирая , будем иметь и, следовательно,

Здесь использовано следующее неравенство:

.

Тем самым,

и (1)

Сделаем второй шаг. Предположим, что квадратичная форма в . Рассматривая ее как функцию переменной на единичной сфере |dx| = 1 и, пользуясь теоремой Вейерштрасса о достижимости точной нижней грани непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве, заключаем, что:

для всех dx, , где .

Для произвольного dx имеем: , а потому:

, откуда: .

Пользуясь Тейлоровским разложением для и учитывая вид (1) остаточного члена, получаем:

()

Тем самым, для всех достаточно малых выполнено и - точка локального минимума.

Шаг третий. Пусть в точке . Тогда квадратичная форма , построенная для функции y=--f(x), является положительно определенной. Действительно, мы имеем:

Поэтому функция y=-f(x) имеет в локальный минимум, а функция y=f(x) – локальный максимум.

4-й шаг. Докажем последнее из вышесказанной теоремы. Пусть не определена, т.е. существую n-мерные векторы и такие, что:

и .

Рассмотрим ф-цию вещественного переменного:

и .

При всех достаточно малых t точки и принадлежат множеству D, а потому функции и определены, по крайней мере, при достаточно малых t. По теореме о дифференцировании сложной функции эти функции трижды непрерывно дифференцируемы по t. Мы имеем:

,

Т.к. - критическая точка, то: и , а

Аналогично: и

Таким образом, функция имеет при t = 0 локальный минимум, - ло­кальный максимум. Отсюда заключаем, что в любой окрестности точки х₀ найдутся точки и такие, что

и

Тем самым, не является точкой локального экстремума и теорема доказана.