Криволинейный интеграл 1-го рода. Сведение криволинейного интеграла 1-го рода к интегралу по отрезку

Пусть в плоскости задана кривая γ, т.е. образ непрерывной, взаимно однозначной вектор- функции:

.

Пусть A= , B= . Предположим, что кривая γ спрямляема. Рассмотрим, разбиение кривой γ точками , таким что принадлежит дуге . Через обозначим длину дуги . Пусть на кривой γ задана функция f=f(M), где M принадлежит γ. Выберем на каждой дуге

точку и составим сумму .

Определение:

Если существует величина , где , а придел не зависит от разбиения и от выбора точек { }, то функция f(M) называется интегрируемой по кривой γ, а значение предела называется криволинейным интегралом I рода и обозначается через

Замечание: В данном определении не играет никакой роли направление, которое может быть указано на γ.

Пусть M принадлежит γ. Тогда точке M соответствует единственное число s, равное длине дуги ,т.е (x(s),y(s))=M. Рассмотрим интегральную сумму:

где – длина дуги , если - длина дуги , то получаем:

Интегральная сумма в определении криволинейного интеграла совпадает с интегральной суммой функции

f(x(s),y(s))по отрезку [0,| γ|], где | γ| -длина γ. Следовательно существование одного из интегралов влечет существование другого. В силу данного равенства получаем:

Пусть функции φ(t),ψ(t) непрерывно дифференцируемы и (φ(t),ψ(t)) взаимно однозначное отображение, т. е. каждому значению t [a, b] соответствует единственная точка M γ, и обратно, для любой точки M γ существует единственное t [a, b] такое, что M=(φ(t),ψ(t)). Из условия на функции φ(t),ψ(t) следует, что γ является спрямляемой.

Пусть s(t)- длина дуги , M(t)= (φ(t),ψ(t)).

Тогда , если возрастание параметра t соответствует возрастанию параметра s. Тогда

.