ВОПРОС 19 (1)

/*Обозначение Δ-треугольник.

Пусть на плоскости с декартовыми координатами (x,y) заданы кривая j, тюе образю вектор-функции:

Которая является взаимно-однозначной и непрерывной. Будем считать, что кривая j является спрямляемой. Рассмотрим разбиение отрезка [a,b] точками a= =b. обозначим через . -дуга кривой j, расположенная между и . Длина дуги обозначим через

На каждой дуге выберем произвольную точку A .*/

Пусть задана кривая γ на плоскости. Будем говорить, что γ ориентирована, если определено начало кривой и конец. Пусть A-начало γ, B-конец. Составим интегральные суммы:

, Δ =

, Δ = где координаты точки

Определение. Если , , независящий от выбора разбиения кривой γ, то функция f называется интегрируемой по кривой, а значения таких пределов называют криволинейными интегралами 2-го рода и обозначают:

Если заданы функции P(x,y), Q(x,y) на кривой γ, то выражение

,также называется интегралом второго рода.

Замечание. Справедливо следующее свойство. Пусть AB-кривая γ с началом в точке А и концом в точке В, а ВА –кривая γ с началом в точке В и конец А. Тогда .

Теорема. Пусть кривая γ задана вектор-функцией , где а функция f(x,y) непрерывна на γ. Пусть, кроме того,

1)функции непр. диф-мы на [a,b].

2) != 0

Если (φ(a),ψ(b))=A, (φ(b),ψ(b))=B, то

Тогда .

Доказательство. Обозначим . Зафиксируем .Тогда существует ,такое, что для всех разбиений Р отрезка [a,b] a= =b, для которых

μ(Р)= <δ и всех точек выполнено неравенство

,

Где Δ

Отметим что функция , является непр. на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].Следовательно, , так что | |< , выполнено . Рассмотрим разбиение , для которого . Тогда:

+

≤

По теореме Лагранжа о конечных приращениях , так что .

Тогда используя | |< получаем

≤

≤

Таким образом существует

Что и доказывает утверждение теоремы.