Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании функционального ряда (без док-ва)

Т2 (Об почленном интегрировании ряда)

Пусть сущ. ф-цияun(x) ÎR и непрерывная на отр. [a,b] и ряд (3) равномерно сходится на этом отрезке, тогда какова бы ни была т. х0Î [a, b] (4) тоже равномерно сходится на [a,b]. В частности: при x0 = a, х = b: т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.

Т3 (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть сущ. ф-цияun(x) ÎR и непрерывная на отр. [a,b] и ряд её производных (6) равномерно сходящийся на отр [a,b] тогда, если ряд (7) сходится хотя бы в одной точке x0 Î [a,b] то он сходится равномерно на всем отрезке [a,b], его сумма

S(x) = (8) является непрерывно дифференцируемой ф-цией и

(9)

В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:

=

So ряд (7) можно почленно дифференцировать