Понятие несобственного интеграла. Абсолютная и условная сходимость. Примеры

Пусть D⊂ –неограниченная область и f(x) функция, заданная в D. Рассмотрим последовательность ограниченных открытых множеств таких, что выполнены свойства:

1. = – есть все пространство ;

2. для всех i=1,2,… выполнено

Определение. Система множеств { со свойствами 1 и 2 называются исчерпанием пространства

Всюду далее будем предполагать, что множества D⋂ для всех i измеримы по Жордану и функция f(x) интегрируема на D⋂

Определение. Функция f(x) называется интегрируемой в несобственном смысле в неограниченной области D, если существует , не зависящий от выбора исчерпания { . Данный предел называется несобственным интегралом функции f(x) по области D. При этом, если указанный предел конечен, то несобственный интеграл

называется сходящимся, а если не существует или равен , то интеграл называется расходящимся.

Опр.Если сходится интеграл , то интеграл называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интеграл расходится, то интеграл называется сходящимся условно.

Примеры:

1. = = ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

2. исследовать интеграл на абсолютную сходимость:
J= .

f(x)= ; интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.