Кратные интегралы Римана. Сведение кратных интегралов к повторным

Определение. Пусть f(x,y) –функция, определенная на прямоугольнике [a,b]x[c,d] и непрерывна в нем как функция двух переменных. Тогда интегралы вида

Называется повторным интегралом.

Определение: Функция f(x) = f(x₁,….., x_n) называется интегрируемой по параллелепипеду A=[ a₁, b₁]x[a₂,b₂]x….x[a_n,b_n], если , где Р – разбиение параллелепипеда А;

T- параллелепипеды разбиения А

v(T)-объем параллелепипеда T. – нижняя и верхняя суммы Дарбу функции f соответствующей разбиению P.

1. Случай параллелепипеда.

ТЕОРЕМА: Пусть - замкнутые параллелепипеды и z=f(x,y) – функция (n+m) переменных, интегрируемая по параллелепипеду AxB. Предположим, что z=f(x,y) интегрируема по параллелепипеду В для каждого фиксированного . Пусть g(x)=

Тогда функция g(x) интегрируема по параллелепипеду А. Причем =

Доказательство: - разбиение параллелепипеда А; - разбиение параллелепипеда В; - параллелепипеды разбиения ; – параллелепипеды разбиения .

Разбиения и определяют разбиение Р параллелепипеда АхВ, причем параллелепипеды разбиения Р имеют вид = х . Тогда (1).

Зафиксируем произвольный . Тогда

Тогда из равенства (1) получаем:

Следовательно (2)

Аналогично (3).

Зафиксируем произвольное . Так как функция f интегрируема по АхВ, то существует разбиение Р такое, что .

Тогда из (2) и (3) получаем .

Таким образом функция g(x) интегрируема по параллелепипеду А. Из неравенства (2) следует, что для любого разбиения Р:

Переходя в данном неравенстве к точной верхней грани по разбиению Р, получаем . Из неравенства (3):

Переходя к точной нижней грани по разбиению Р, получим: .

Теорема 2. Пусть функция z=f(x,y) непрерывна на замкнутом параллелепипеде АхВ. Тогда

Доказательство: Т.к f(x,y) непрерывна на АхВ, то она интегрируема на АхВ. Т.к функции f(x,y) непрерывна по переменной у, для всякого фиксированного х, то она интегрируема по параллелепипеду Р. Применяя теорему 1 получаем равенство

2. Случай произвольного множества.

Теорема 3. Пусть А – замкнутые параллелепипеды, - произвольное, измеримое по Жордану множество, z=f(x,y) –непрерывна по G. Предположим, что для любого множество - измеримо по Жордану. Тогда

Доказательство: Т.к функция непрерывна по у, а множество измеримо по Жордану, то функция f(x,y) интегрируема по для фиксированного .

При этом считаем, что , если

Аналогично, из непрерывности функции f(x,y) следует интегрируемость ее по множеству G. Положим

Тогда

Пусть -открытое множество. Будем говорить, что множество А является измеримым по Жордану, если граница Имеет нулевой объем: v(∂A)=0.