Представление рядом Фурье периодической функции

Говорят что f(x) определена на множестве E удовлетворяет условию Липшица, если

Лемма:

Пусть f(x) удовлетворяет условию Липшица с некоторой k на конечном интервале (a,b) следовательно её можно продолжить по непрерывности на [a,b] таким образом продолженная функция удовлетворяет условию Липшица.

Из условия Липшица и критерию Коши следует предел функции

Полагаем

Докажем что продолженная функция удовлетворяет условию Липшица, достаточно показать что:

переходя в неравенстве к lim при

Будем говорить что f(x) – кусочно – Липшивцева на [a,b] если такое разбиение отрезка [a,b] на отрезки [ ], …, [ ], что на каждом из отрезков функция удовлетворяет условию Липшица:

Будем говорить что функция f(x) - кусочно – Липшивцева на всей числовой , если она обладает этим свойством на всем отрезке [a,b].

Теорема:

Пусть f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) f(x) - 2 – периодичная

2) f(x) – кусочно – непрерывная

3) в конечные правые и левые производные тогда тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится в и имеет в этой точке сумму равной в

Составим для функции, удовлетворяющей условиям теоремы тригонометрический ряд Фурье:

где

Частичная сумма представляется в виде

Следовательно что в любой точке существует предел и функция f(x).

Используя соотношение:

так как

Следовательно можно записать:

Введем обозначения: следовательно

Согласно условию теоремы функция f(x) является кусочно-непрерывной в любом конечном промежутке из R и в каждой точке существует левая и правая производные функции f(x).

Кроме того следовательно

Где .

Лемма Римана:

Если функция f(x) – кусочно – непрерывна на [a,b], то