Степенные ряды. Круг сходимости. Теорема Коши-Адамара

Определение. Пусть задана последовательность вещественных чисел {с_n}. Ряд (1)

– называется степенным рядом. Числа {с_n} называются коэффициентами степенного ряда.

Ясно, что при изучении ряда вида (1) достаточно ограничиться изучением разновидности: (2).

Теорема Коши-Адамара: Пусть задан степенной ряд (2). Положим

Тогда ряд (2) сходится и притом абсолютно при всех x таких, что

и расходится при всех x для которых

Доказательство: Зафиксируем х и покажем Рассмотрим числовой ряд (3).

Заметим, что

Согласно признаку сходимости Коши для численного ряда (3), этот ряд сходится при т.е. и расходится при т.е. . Учитывая, что ряд (3) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (2), получаем утверждение теоремы.

Замечание. Данная теорема верна также и для рядов с комплексными членами. В этом случае неравенство описывает круг радиуса R на плоскости. Поэтому как в комплексном, так и в вещественном случаях, R -называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание. Подчеркнём, что в каждой точке интервала (-R, R) ряд сходится, на концах этого интервала ряд может как сходиться, так и расходиться, а всюду вне отрезка [-R, R] ряд расходится.

(где R-радиус сходимости степенного ряда)

Круг сходимости степенного ряда - круг вида в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при расходится.

Если понадобится - Признак сходимости Коши: Если для числового ряда (3) с неотрицательными членами существует такое число d, 0<d<1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.