Доказательство. Достаточность. Предположим

Достаточность. Предположим. что , и покажем, что для всякой последовательности разбиений с отмеченными точками т.ч. , суммы Римана . Здесь - разбиение (без отмеченных точек), соответствующее разбиению . Т.к. ,то, по предположению и .

С другой стороны . По принципу «сжатой» последовательности. .

Необходимость. Предположим, что f интегрируема по Риману. Нужно доказать, что .

Т. к. f интегрируема, то выполнено . Раскрываем модуль

. Переходя в двойном неравенстве к точной верхней и точной нижней граням по всем , получаем где m_i и M_i – соответственно точные нижняя и верхняя грани функции .

Таким образом, выполнено и . Следовательно, и .

По теореме Дарбу (Пусть f – ограничена на [ a, b ] функция. Тогда существуют пределы верхней и нижней сумм Дарбу при , причем ) имеем: и . Т.е ч.т.д.

Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Если f непрерывна на [ a, b ] и F – произвольная ее первообразная на [ a, b ], то .

Доказательство. Пусть функция является первообразной для функции f. Известно, что любые две первообразные могут отличаться разве лишь на константу, т.е. существует константа C т.ч.

. Следовательно, , тогда / / . ч.т.д.

Пример. Вычислим интеграл: