Определенный интеграл Римана; условия интегрируемости функции. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f – функция, определенная на [ a, b ]. Произвольный упорядоченный набор точек назовем разбиением T_n отрезка[ a, b ] на отрезки . Наибольшую из длин отрезков [ x_i;x_i+1 ] назовем мелкостью разбиения T_n и обозначим .

Если на каждом из отрезков [ x_i;x_i+1 ] разбиения T_n выбрано по точке

, то полученный объект назовем разбиением с отмеченными точками отрезка [ a, b ] и обозначим . Величина называется интегральной суммой Римана, соответствующей разбиению с отмеченными точками T_n.

Если существует конечный предел , Не зависщий от выбора последовательности разбиений с мелкостью , то этот предел называется определенным интегралом от функции f по отрезку [ a, b ] и обозначается .

Функции для которых указанный предел существует называются интегрируемыми (по Риману) на отрезке [ a, b ].

Пусть f ограниченная на [ a, b ] функция, T_n – разбиение отрезка [ a, b ]. величины называются соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на [ a, b ] функция f была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы

.