ВОПРОС 11 (1)

11. Виды сходимости функциональных рядов. Признаки равномерной сходимости. Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз. последовательность ф-ций {f_n(x)} (1)определенных на Е и принимающих числовые действительные значения.

Пусть задана последовательность числовых ф-ций {u_n(x)} Формально написанную сумму: (2) называют функциональным рядом на множестве Е, а ф-циюu_n(x) – его членами. Аналогично случаю числовых рядов, сумма: S_n(x) = u1(x)+u2(x)+…+u_n(x) называется частичной суммой ряда n порядка, а ряд: un+1? un+2… - его n-ным остатком. При каждом фиксированном х = х0 Î Е получим из (1) числовую последовательность {f_n(x0)}, а из (2) – числовой ряд , которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных сходится, то сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз. точкой сходимости.

Если посл(1) сход на множестве Е, то ф-цияf, определенная при "xÎEf(x) = называется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-цияS(x) определенная при "xÎ Е равенством называется суммой ряда (2).

Остаток ряда сходится только когда на этом же множестве сходится сам ряд, если обозначить сумму остатка ряда через r_n(ч), то S(x) = Sn(x)+r_n(x)

Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-ж Е. Множество всех точек сходимости функционального ряда наз областью сходимости. Для определения области сходимости можно использовать признак Даламбера и Коши.

Ф-ц ряд исследуется на абсолютную сходимость. Например, если существует

и , то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1 и расходится при k(x)>1.

Ф-циональную последовательность {fn)x)} xÎE наз. равномерно сходящейся ф-циейfна м-ж Е, если для Îe>0, сущ номер N, такой, что для " т х ÎE и "n>N выполняется ¹-во: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сходится на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-цииf на сем м-ж. тогда пишут: f_nàf.

наз. равномерно сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится последовательность его частичной суммы., т.е. равномерная сходимость ряда означает:Sn(x) àf(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сходящимся, но всякий равномерно сходящийся – есть сходящийся (не, вот это наверное лет 500 выдумывали//забавный комментарий мне жалко удалять)

Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)

Если числовой ряд: (7),

где a>=0 сходится и для "xÎE и "n = 1,2… если выполняется нер-во |u_n(x)|<=an(8), ряд (9) наз абсолютно и равномерно сходящимся на м-ж Е.

Док-вы:

Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное e>0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, "n>N и вып. нерво

Следовательно: |S(x)-Sn(x)| =

Это означает, что S_n(x) àS(x) что означает равномерную сходимость ряда..

Т1 Если ф-цияun(x), где х Î Е непрерывна в т. х0 ÎE и ряд (1) равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) = также непрерывна в т. х0.