Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано, Коши, Лагранжа. Примеры разложений

Теорема 1. Пусть - произвольный многочлен степени n. Пусть – произвольная точка. Тогда

(формула.Тейлора)

Доказательство. Произведем замену x=(x - a) + a в многочлене P(x). Получаем . Ее можно переписать в виде

Найдем коэффициенты . Подставляя в обе части (1) x = a, имеем P(a) = d₀. Дифференцируя тождество (1) по x получаем

и при x = a имеем .

Далее получаем . Продолжая процесс, находим или . Следовательно, из (1) будем иметь

Рассмотрим задачу о существовании многочлена

такого. чтобы для функции f в окрестности точки x = a выполнялось соотношение .

Согласно теореме 1 многочлен P_n(x) можно записать в виде

Предположим, что функция f имеет в точке x = a все производные вплоть до порядка n. По образцу многочлена (1) составляем многочлен

Данный многочлен называется многочленом Тейлора степени n для функции f с центром в точке a.

Теорема 2. Если f имеет в точке x = a производную порядка n, то

Доказательство. Положим . Функция φ дифференцируема n раз, причем .

Покажем, что от сюда вытекает свойство или

Воспользуемся методом математической индукции. Утверждение справедливо при n=1 поскольку из равенства и формулы

следует, что .

Предположим, что данное высказывание верно для n = k, и покажем, что оно верно при n = k +1. Пусть . Тогда производная дифференцируема k раз в точке x = a и, по предположению индукции, для нее выполнено

По формуле Лагранжа, где ξ точка, заключенная между a и x, и . Поэтому из (4) получаем

Последнее равенство является следствием того, что точка ξ находится между точками a и x, а также неравенства .

Формула (3) может быть переписана в виде

Величина имеет смысл остаточного члена. Формула (5) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. В частном случае для n=1 имеем

Величина называется остаточным членом в формуле Тейлора. Т.е. если f имеет в точке x=a производную порядка n, то

.

Предположим, что f дифференцируема (n+1) раз на отрезке [ a, a+h ]. Зафиксируем и рассмотрим вспомогательную функцию

,

где . .

Всюду на отрезке [ a, a + h ] существует производная , причем

Выберем произвольно функцию g дифференцируемую на [ a, x ], для которой . К паре функций применим обобщенную формулу конечных приращений Коши . Имеем

,

где - некоторая точка. Эту точку ξ можно записать в виде

ξ=a+θ(x-a), где - некоторое число. Так как и , то получаем

Выбирая в (6) различные функции g, будем получать разные формы остаточного члена в формуле Тейлора.

Положим . Получим - остаточный член в форме Коши.

Положим . Получим - остаточный член в форме Лагранжа.

Разложение вида , т.е. разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки a=0, называется разложением Маклорена.

Пример 1. Представим ф-ю e^x по формуле Маклорена. Заметим, что эта ф-я дифференцируема бесконечное число раз, причем (e^x)⁽ⁿ⁾= e^x и по этому .

Пример 2. Пусть . Тогда и . Следовательно, , где n – нечетно.

Пример 3. Пусть . Как и выше имеем

, где n – четко.