Критерий Коши сходимости числового ряда

Теорема.

Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое , что для всех

Доказательство.

Заметим, что . После этого утверждение превращается в критерий Коши сходимости последовательности .

Определение. Подпоследовательность называется последовательностью Коши или фундаментальной, если

Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость. Пусть сходится.

Достаточность. Пусть - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и .

Так как последовательность фундаментальна, то , в -окресности которой существуют все элементы .

Предположим, .

В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. - ограничена.

Вследствие теоремы Больцано-Вейерштрасса () < ().

в силу произвольности