Числовые ряды. Виды сходимости. Критерий Коши. Признак сравнения

Пусть - последовательность вещественных чисел. Тогда символ

называется числовым рядом.

Числа называются членами ряда, элемент называется -м членом ряда.

Сумму называют -й частичной суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм сходится, то ряд называется сходящимся. Если последовательность не имеет предела, то ряд называется расходящимся.

Число , если оно существует, называется суммой ряда. Обозначается:

Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены положительны, т.е.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если знаки его соседних членов различны, т.е. его можно записать в виде:

или

Числовой ряд называется знакопеременным, если содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов. Для знакопеременного ряда существуют понятия абсолютной и условной сходимости.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов, т.е. сходится знакоположительный числовой ряд .

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится, а сам ряд сходится.

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды и . Тогда:

· Их суммой называется ряд

· Их произведением по Коши называется ряд , где

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Критерий абсолютной сходимости

Числовой (действительный или комплексный) ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда и Где

Доказательство. Если сходится то по признаку сравнения тем более сходятся и Наоборот, если сходятся и то сходится и их сумма

Признаки сравнения.

1. Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

2. Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость ряда . Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость .

3. Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .