![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция непрерывна на отрезке
, причем
. Тогда для любого числа
, заключенного между
и
, найдется такая точка
, что
.
Доказательство:
Пусть, например, и
. Функция
, очевидно, непрерывна на
. Кроме того
. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка
, что
.
Разделим отрезок точкой
на два равных по длине отрезка, тогда либо
и, значит, искомая точка
найдена, либо
и тогда на концах одного из полученных промежутков функция
принимает значения разных знаков, на левом конце значение меньше нуля, на правом – больше. Обозначим этот отрезок
и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке
, в которой
, либо получим последовательность вложенных отрезков
, по длине стремящихся к нулю и таких, что:
Пусть - общая точка всех отрезков
,
Тогда
. Поэтому в силу непрерывности функции
:
Откуда по выполнении предела получаем, что
Теорема доказана.
Следствие: Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значениях разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 364 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!