Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении

Пусть функция непрерывна на отрезке , причем . Тогда для любого числа , заключенного между и , найдется такая точка , что .

Доказательство:

Пусть, например, и . Функция , очевидно, непрерывна на . Кроме того . Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка , что .

Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и, значит, искомая точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков, на левом конце значение меньше нуля, на правом – больше. Обозначим этот отрезок и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , в которой , либо получим последовательность вложенных отрезков , по длине стремящихся к нулю и таких, что:

Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда . Поэтому в силу непрерывности функции :

Откуда по выполнении предела получаем, что

Теорема доказана.

Следствие: Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значениях разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.