Метод конечных разностей решения первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности: построение явной схемы и оценка погрешности

Постановка задачи:

найти U(x,t)

(1)

Функция U(x,t) имеет смысл температуры, а задача (1) описывает процесс теплопроводности в стержне длины l.

, - температура в концах стержня (ГУ 1-го рода)

- начальная температура

Дискретизация задачи (1):

; ;

; ;

- сетка узлов

Множество узлов , ,…, (2)

Называется j-ым слоем.

- граничные узлы

- дискретное множество точек, представленное матрицей

Пострим разностную схему методом конечных разностей:

- правая разностная аппроксимация

Явная разностная схема для уравнения теплопроводности:

Разностная схема (2) называется явной, так как решение неизвестной находится по явной формуле, используя следующий четырёхточечный шаблон (смотри картинку).

; - коэффициент