Метод конечных разностей решения первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности: неявная схема, абсолютная устойчивость неявной схемы

(1)

; - условия согласования

Посредством метода конечных разностей, строим неявную разностную схему:

(2)

Для каждой точки напишем систему уравнений:

AU=F

Однопараметрическое семейство разностных схем имеет вид:

, где

σ – произвольный вещественный параметр (вес верхнего слоя );

;

при σ=0 получаем явную разностную схему;

при σ≠0 получаем неявную разностную схему;

Рассмотрим неявную разностную схему при σ=1

и выпишем СЛАУ в традиционном виде:

Алгоритм решения задачи:

1. Решением задачи является

2. Первоначально заполняются начальный слой и граничные слои

3. Для каждого слоя j будем формировать правую часть F.

4. Решаем систему Ay=F

5. Обработка результатов

- исследование сходимости

- построение графиков

Аналитическое решение имеет вид:

, где A_n находится в виде:

Доказательство устойчивости неявной разностной схемы:

, - схема неустойчива

, схема является абсолютно устойчивой