Метод баланса построения разностных схем для решения двухточечной краевой задачи

Одна из особенностей технических задач, что изучаемая среда, как правило, существенно неоднородна. Этот фактор проявляется в том, что коэффициенты дифференциальных уравнений становятся разрывными. Предположим, что на отрезке [a,b] есть М точек разрыва первого рода. Будем считать, что всюду, кроме этих точек, коэффициенты k, q, f непрерывны и .

Допустим, -решение задачи, если:

1. непрерывна на отрезке [a,b] и удовлетворяет краевым условиям

2. поток непрерывен на отрезке [a,b]

3. везде, кроме точек разрыва, непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению:

Применим метод баланса(или интегро-интерполяционный метод):

Запишем уравнение теплового баланса для отрезка , где , получаем:

Воспользуемся приближенной формулой: , поделим на :

, где

Заметим:

Получим: -эффективное значение коэффициента теплопроводности на отрезке .

Замечание1: усредняется фактически не коэффициент теплопроводности k(x), а обратный к нему коэффициент теплопроводности сопротивления .

В итоге: (1)

И краевые условия:

Получаем разностную схему.

Замечание2: Разностное уравнение (1) записываются единообразно во всех внутренних узлах сетки. Это означает, что рассматриваемая разностная схема относится к классу однородных разностных схем.