Метод конечных разностей решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Порядок аппроксимации схемы

Разностная схема выглядит следующим образом:

Разностное уравнение – аппроксимация исходного дифференциального уравнения:

Дальнейшее разложение элементов уравнения в ряд Тейлора даст нам искомый порядок аппроксимации (будем рассматривать случай ).

39. Метод конечных разностей решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Итерационные методы решения сеточных уравнений: простой итерации.

Задача Дирихле для уравнения Пуассона определяется, как задача нахождения , удовлетворяющей в области определения D уравнению:

и (f и g задаются в задаче). Подобная модель может применяться для описания установившегося течения жидкости, стационарных тепловых полей, процессов теплопередачи с внутренними источниками тепла и деформации упругих пластин.

Одним из наиболее распространенных подходов к численному решению дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (метод сеток). Следуя этому подходу, область решения D можно представить в виде дискретного (как правило, равномерного) набора (сетки) точек (узлов). Так, например, прямоугольная сетка в области D может быть задана в виде пятиточечного шаблона.

Разностная схема выглядит следующим образом:

Разностное уравнение-аппроксимация исходного дифференциального уравнения:

Простой итерации:

Расчетная формула метода простой итерации: