Решение сеточных уравнений методом прогонки. Правило Рунге оценки погрешности

Метод конечных разностей(или метод сеток): Область непрерывного изменения аргумента заменяют конечным множеством узлов, называемым сеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматривают функции, определенные только в узлах сетки,-сеточные функции. Производные, которые входят в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяют их разностными аналогами. В результате краевую задачу заменяют дискретной краевой задачей(разностной схемой). Примем K(x)=1, тогда краевая задача:

Метод прогонки:

Прежде всего, нужно построить сетку(равномерную, с постоянным шагом ) и ввести сеточные функции(), затем построить разностную схему:

, с погрешностью

Заменим в каждом из внутренних узлов:

Теперь потребуем, чтобы значения искомой сеточной функции удовлетворяли во всех внутренних узлах сетки уравнениям в которых знак приближенного равенство заменен на знак равенства:

-разностная схема.

Приведем к виду:

,

Видно, что система имеет вид:

Трехдиагональная матрица, где:

Прямой ход:

, остальное по рекуррентным формулам:

и

Затем обратный ход, при : .

Оценка погрешности по правилу Рунге:

, применимо только в тех узлах, где известны оба значения.