Применение метода конечных разностей при решении двухточечной краевой задачи в случае переменного коэффициента теплопроводности

Метод конечных разностей(или метод сеток): Область непрерывного изменения аргумента заменяют конечным множеством узлов, называемым сеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматривают функции, определенные только в узлах сетки,-сеточные функции. Производные, которые входят в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяют их разностными аналогами. В результате краевую задачу заменяют дискретной краевой задачей(разностной схемой). Краевая задача:

В данном случае вся сложность заключается в выборе подходящей аппроксимации для выражения:

Введем обозначения:

Аппроксимируем:

Используя далее приближенные формулы:

Получаем разностную схему:

Коэффициенты:

Замечание1: При любом h существует единственное решение разностной схемы, справедлив принцип максимумов, разностная схема устойчива и сходится со вторым порядком точности, если коэффициенты k, q, f являются дважды непрерывно дифференцируемыми на отрезке [a,b] функциями.