Метод переменных направлений решения двумерной начально-краевой задачи для уравнений теплопроводности

Будем рассматривать поставленную задачу – нагревание мембраны:

- разностный оператор

Операторная запись разностной схемы:

Будем реализовывать разностную схему в два этапа, введя половинный слой по времени:

Первое уравнение:

При каждом фиксированном j выполняется прогонка по направлению x₁. Общее число арифметическиех действий

Разностные схемы в которых число арифметических действий N равно числу узлов на слое – называются экономичными. Метод переменных направлений является экономичной разностной схемой.

Другой способ решения этой задачи – применение локально-одномерных задач.

Локально-одномерная схема (трёхмерная и большее число пространственных измерений)

Локально-одномерная схема:

36. Метод конечных разностей решения начально-краевой задачи для уравнения колебаний струны: схема крест, порядок аппроксимации.

Условие согласования:

Это уравнение написано на пяти-точечном шаблоне. Необходимо вычислить значения на слое Очевидно, что находится из условия

находим из условия

Тогда аппроксимация примет вид:

Алгоритм и разностная схема для уравнения колебаний:

1.

2. Значения на первом слое:

3.