Обратная функция. Теорема о существовании обратной функции у монотонной функции

Определение. Пусть имеется функция f (x) определенная на отрезке < a, b >, значения которой принадлежат некоторому отрезку < c, d >. Если

,

то говорят, что на отрезке < c, d > определена функция, обратная к функции f (x) и обозначают это так: .

Обратите внимание на отличие этого определения от определения заполненности отрезка < c, d > сплошь. В определении стоит квантор , то есть значение х, обеспечивающее равенство , должно быть единственным, в то время как в определении заполненности отрезка< c, d > сплошь стоит квантор , что говорит о том, что может быть несколько значений х, удовлетворяющих равенству .

Обычно, говоря об обратной функции, заменяют х на у а y на x (x «y) и пишут . Очевидно, что исходная функция f (x) и обратная функция удовлетворяют соотношению

.

Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта.

Пример.

Пусть , Чтобы найти обратную функцию, надо проделать следующие операции:

1. Уравнение разрешить относительно y:

.

2. В получившемся выражении сделать замену :

.

Таким образом

.

Теорема. Пусть функция f (x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке [ a, b ]. Тогда на отрезке [ f (a), f (b)] определена обратная функция , которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).

Доказательство.

Докажем теорему для случая, когда f (x) строго монотонно возрастает.

1. Существование обратной функции.

Так как по условию теоремы f (x) непрерывна, то, согласно предыдущей теореме, отрезок [ f (a), f (b)] заполнен сплошь. Это означает, что .

Докажем, что х единственно. Действительно, если взять , то будет и поэтому . Если взять , то будет и поэтому . В обоих случаях значения функции не равны y, и поэтому x единственно. Следовательно, и существует.

2. Монотонность обратной функции.

Сделаем обычную замену x «y и будем писать . Это значит, что .

Пусть x ₁ > x ₂. Тогда:

; ;

; .

Какое же соотношение между y ₁ и y₂? Проверим возможные варианты.

а) y ₁ < y ₂? Но тогда f (y ₁)< f (y ₂) и x ₁ < x ₂, а у нас было x ₁> x ₂.

б) y ₁ = y ₂? Но тогда f (y ₁)= f (y ₂) и x ₁= x ₂, а у нас было x ₁> x ₂.

в) Остается единственный вариант y ₁> y ₂. Но тогда , а это и означает, что строго монотонно возрастает.

3. Непрерывность обратной функции.

Так как значения обратной функции заполняют сплошь отрезок [ a, b ], то по предыдущей теореме, непрерывна. <