Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции

Теорема 1. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х ₀. Тогда функции f (x)± g (x), f (x) g (x) и (если g (x ₀)¹0) непрерывны в точке х ₀.

Доказательство.

Пусть f (x) и g (x) непрерывны в точке x ₀. Это значит, что . Но тогда, по свойствам пределов

Последнее свойство верно, если . <

Пусть y = f (x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x =j(t). Тогда комбинация y = f (j(t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функций f (x) и j(t).

Примеры:

а) y=sin(x), x =e ^t Þ y =sin(e ^t)

б) y = e ^x, x =sin(t) Þ y = e^sin(t)