Первая теорема Вейерштрасса

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [ a, b ]. Тогда она ограничена на этом отрезке, то есть существуют такие числа m и M, что x Î[ a, b ] m £ f (x)£ M.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Предположим противное – пусть, например, функция f (x) неограничена сверху.

1. Построение последовательности. Мы предположили, что f (x) неограничена сверху на [ a, b ]. Это означает, что для любого числа А найдется такая точка x Î[ a, b ], что f (x)> A.

Возьмем в качестве числа А числа 1, 2, 3, 4,… Тогда , что f (x_n)> n. Мы получили, таким образом, некоторую последовательность { x_n }Î[ a, b ] и удовлетворяющую свойству f (x_n) > n.

2. Выделение подпоследовательности. Так как последовательность { x_n } ограничена, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность { x_n }, то есть . В силу замкнутости отрезка [ a, b ] точка c Î [ a, b ].

(Отметим, что в этом месте используется ограничение теоремы – замкнутость [ a, b ]. Если бы, например, был (a, b), то с могла бы и не принадлежать (a, b)).

3. Сведение к противоречию. Так как согласно п.1 , то, переходя к пределу k ®¥, получим

,

то есть f (c)=+¥, что противоречит условию теоремы, где сказано, что f (x) определена на отрезке [ a, b ], что означает, что f (c) должна иметь конечное значение. <