![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
.
Мы не будем давать строгого определения показательной функции, так как изложенного выше материала для этого недостаточно. Будут изучены лишь свойства этой функции.
Рассмотрим подробно случай
1. Основное свойство показательной функции имеет вид
.
Иногда именно это свойство принимается в качестве определения показательной функции, так как можно показать, что среди непрерывных функций показательная функция – единственная функция, удовлетворяющая свойству . Следствием этого свойства является следующее свойство показательной функции:
.
2. Если , то
; при любых значениях х
.
3. При функция
строго монотонно возрастает.
Пусть . Тогда
и мы имеем
,
так как >1. Следовательно
.
4. .
Представим а в виде а =1 + l. Тогда l>0.
Пусть х = n где n - целое положительное число. Тогда, используя формулу бинома Ньютона, получим
.
Следовательно .
Пусть теперь х > 0 и n = [ x ] есть целая часть х. Тогда ; при х ®+¥ также и n ®+¥ и мы имеем
.
5. .
Действительно, . При
,
и
6. непрерывна при любом х.
Пусть . Возьмем любое
и найдем такое целое число n, чтобы выполнялось соотношение
.
Можно ли это сделать?
Имеем следующую цепочку неравенств.
;
;
;
;
.
Поэтому, если мы добьемся выполнения неравенства
,
то предыдущее неравенство будет и подавно выполнено. Но последнее неравенство верно при
,
так что искомое n всегда существует.
Но тогда, при х, удовлетворяющем неравенству
имеем
,
и функция ax непрерывна в точке х 0 справа.
Аналогично доказывается, что функция ax непрерывна в точке х 0 слева, и поэтому функция ax непрерывна в точке х 0.
7. Значения функции ax заполняют сплошь отрезок (0, +¥).
Случай 0 < a < 1 рассматривается аналогично. В этом случае функция ax строго монотонно убывает, непрерывна при любых х, и . Ее значения также заполняют сплошь отрезок (0, +¥).
Вид графика показательной функции при а > 1 и при 0 < a < 1 приведен на рисунке.
![]() | ![]() |
Математики особенно «любят» функцию , то есть показательную функцию при а=е. Ее называют экспоненциальной функцией, или просто экспонентой. Для нее часто используют обозначение
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 248 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!