Показательная функция

.

Мы не будем давать строгого определения показательной функции, так как изложенного выше материала для этого недостаточно. Будут изучены лишь свойства этой функции.

Рассмотрим подробно случай

1. Основное свойство показательной функции имеет вид

.

Иногда именно это свойство принимается в качестве определения показательной функции, так как можно показать, что среди непрерывных функций показательная функция – единственная функция, удовлетворяющая свойству . Следствием этого свойства является следующее свойство показательной функции: .

2. Если , то ; при любых значениях х .

3. При функция строго монотонно возрастает.

Пусть . Тогда и мы имеем

,

так как >1. Следовательно .

4. .

Представим а в виде а =1 + l. Тогда l>0.

Пусть х = n где n - целое положительное число. Тогда, используя формулу бинома Ньютона, получим

.

Следовательно .

Пусть теперь х > 0 и n = [ x ] есть целая часть х. Тогда ; при х ®+¥ также и n ®+¥ и мы имеем

.

5. .

Действительно, . При , и

6. непрерывна при любом х.

Пусть . Возьмем любое и найдем такое целое число n, чтобы выполнялось соотношение

.

Можно ли это сделать?

Имеем следующую цепочку неравенств.

;

;

;

;

.

Поэтому, если мы добьемся выполнения неравенства

,

то предыдущее неравенство будет и подавно выполнено. Но последнее неравенство верно при

,

так что искомое n всегда существует.

Но тогда, при х, удовлетворяющем неравенству

имеем

,

и функция a^x непрерывна в точке х ₀ справа.

Аналогично доказывается, что функция a^x непрерывна в точке х ₀ слева, и поэтому функция a^x непрерывна в точке х ₀.

7. Значения функции a^x заполняют сплошь отрезок (0, +¥).

Случай 0 < a < 1 рассматривается аналогично. В этом случае функция a^x строго монотонно убывает, непрерывна при любых х, и . Ее значения также заполняют сплошь отрезок (0, +¥).

Вид графика показательной функции при а > 1 и при 0 < a < 1 приведен на рисунке.

Математики особенно «любят» функцию , то есть показательную функцию при а=е. Ее называют экспоненциальной функцией, или просто экспонентой. Для нее часто используют обозначение .