Замкнутость отрезка

Рассмотрим функцию и пусть . В этом случае , но этот супремум не достигается, так как точка (см. рис.).

3.5 Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Разберем теперь важное и сложное понятие равномерной непрерывности функции.

Пусть имеется функция f (x), которая непрерывна на некотором множестве Х. Вспомним, что это означает: это означает, что f (x) непрерывна в каждой точке этого множества и записывается так:

.

Обратим внимание на величину d, стоящую после квантора . От чего она зависит?

Общее правило гласит, что величина, стоящая после квантора зависит от всех величин, которые стоят после кванторов , которые расположены впереди квантора . В данном случае перед d стоят два квантора . Поэтому d зависит от e и, и это самое главное, от х ₀, то есть d=d(e, x ₀).

Так вот, эта зависимость d от х ₀ очень сильно мешает при доказательстве многих теорем. Хотелось бы, чтобы d зависело только от e и не зависело от х ₀, то есть d было бы одинаково пригодно для всех х ₀Î Х. Это желание избавиться от зависимости d от х ₀ и приводит к понятию равномерной непрерывности.

Определение. Функция f (x) называется равномерно непрерывной на множестве Х, если

.

Обратите внимание на то, куда преместился квантор . Теперь он стоит после квантора и поэтому d зависит теперь только от e, и не зависит от х ₀. Это местоположение квантора и есть главное в понятии равномерной непрерывности f (x) на множестве Х.

А теперь докажем достаточно сложную теорему о равномерной непрерывности f (x).

Теорема Кантора. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [ a, b ]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Надо доказать:

.

Противоположное утверждение:

.

1. Построение последовательностей.

Возьмем то e>0, которое, согласно противоположному утверждению, «существует».

Возьмем любую последовательность d _n, которая монотонно убывает до нуля, то есть

d₁>d₂>d₃>…d _n ®0, при n ®¥.

Тогда для каждого d _n

.

Перебирая все d _n мы получим две последовательности { x_n } и .

2. Выделение сходящихся подпоследовательностей. Рассмотрим последовательность { x_n }. Она ограничена, так как a £ x_n £ b. По лемме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность , то есть для которой . Заметим, что cÎ[ a, b ] в силу замкнутости [ a, b ].

А что можно сказать о подпоследовательности ? Так как , то

.

Но так как а то по теореме «о двух милиционерах» отсюда следует, что также , то есть подпоследовательность сходится к тому же пределу c, что и .

3. Сведение к противоречию.

Рассмотрим теперь последний квантор

.

Переходя к пределу k ®¥ и учитывая непрерывность функции y =| x |, получим:

,

.

В силу непрерывности f (x) , так что получаем, что

,

то есть получаем, что e£0. Это противоречит квантору , где e строго больше 0. <