Теоремы о непрерывных функциях

Перейдем к доказательству важнейших теорем о непрерывных функциях.

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть f (x) определена и непрерывна на отрезке [ a, b ] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения. Тогда существует точка c Î[ a, b ] в которой f (c)=0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, f (a)<0, f (b)>0. Ситуация выглядит так:

Для доказательства теоремы снова используем метод деления отрезка пополам.

1.Деление отрезков пополам.

Разделим отрезок [ a, b ] пополам. Серединой его будет точка . Тогда возможны такие варианты:

а) . В этом случае, взяв , теорему можно считать доказанной.

б) . В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [ a ₁, b ₁].

в) В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [ a ₁, b ₁].

Проделаем такую же процедуру с отрезком [ a ₁, b ₁], получив отрезок [ a ₂, b ₂], затем то же самое с отрезком [ a ₂, b ₂], получив отрезок [ a ₃, b ₃] и т.д. Заметим, что для дальнейшего рассмотрения все время оставляется тот отрезок, для которого f (a_n)<0 и f (b_n)>0.

2. Построение точки с.

В результате этой процедуры возможны два варианта.

А. На каком-то шаге n получится, что . В этом случае в качестве точки с следует взять и теорема будет доказана.

Б. .

В этом случае мы получаем систему отрезков [ a_n, b_n ], для которой

а) [ a, b ] É [ a ₁, b ₁] É [ a ₂, b ₂] É [ a ₃, b ₃]…

б)

в) f (a_n)<0; f (b_n)>0

3. Но тогда, по лемме о вложенных отрезках, существует . Используя непрерывность функции f (x), получим

так как всегда было f (a_n)<0, f (b_n)>0. Сравнивая эти два неравенства получим, что f (c)=0, что и требовалось доказать. <

Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть f (x) определена и непрерывна на отрезке < a, b > и и . Тогда m < C < M с Î< a, b > f (c)= C.

Примечание. Символ < означает любой из двух символов – (или [, а символ > - любой из двух символов -) или ]. Таким образом, отрезок < a, b > означает любой из следующих отрезков – [ a, b ], (a, b ], [ a, b), или (a, b).

Доказательство.

Так как к супремуму и инфимуму можно подойти сколь угодно близко, то можно утверждать, что

x ₁Î< a, b > m < f (x ₁)< C,

x ₂Î< a, b > C < f (x ₂)< M

Очевидно, что отрезок [ x ₁, x ₂] Ì < a, b >.

Рассмотрим функцию j (x)= f (x)- C. Для нее имеем:

j (x ₁)= f (x ₁)- C <0; j (x ₂)= f (x ₂)- C >0.

Согласно первой теореме Больцано-Коши, с Î[ x ₁, x ₂], такая, что j (с)=0. Но тогда эта же точка с Î< a, b > и для нее j(с)= f (c)- C = 0, то есть f (c) = C. <