Доказательство. Докажем теорему только для супремума

Докажем теорему только для супремума.

1. Построение последовательности. По первой теореме Вейерштрасса, f (x) ограничена сверху на [ a, b ], то есть

По свойствам супремума, к нему можно подойти сколь угодно близко. Поэтому . Беря n =1,2,3,… получим последовательность { x ₁, x ₂, x ₃,…} такую, что .

2. Выделение подпоследовательности. Так как n a £ x_n £ b, то по лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности { x_n } можно выделить сходящуюся подпоследовательность такую, что , причем с Î[ a, b ] в силу его замкнутости.

3. Достижение супремума. Для нашей подпоследовательности верно условие

.

Переходя к пределу k ®¥, получим

.

Но , кроме того, в силу непрерывности f (x), . В результате получим, что M £ f (c)£ M, то есть f (c)= M и супремум f (x) достигается в точке с. <