Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Доказательство. Докажем теорему только для супремума



Докажем теорему только для супремума.

1. Построение последовательности. По первой теореме Вейерштрасса, f (x) ограничена сверху на [ a, b ], то есть

По свойствам супремума, к нему можно подойти сколь угодно близко. Поэтому . Беря n =1,2,3,… получим последовательность { x 1, x 2, x 3,…} такую, что .

2. Выделение подпоследовательности. Так как n a £ xn £ b, то по лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности { xn } можно выделить сходящуюся подпоследовательность такую, что , причем с Î[ a, b ] в силу его замкнутости.

3. Достижение супремума. Для нашей подпоследовательности верно условие

.

Переходя к пределу k ®¥, получим

.

Но , кроме того, в силу непрерывности f (x), . В результате получим, что M £ f (cM, то есть f (c)= M и супремум f (x) достигается в точке с. <





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 526 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...