![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Докажем теорему только для супремума.
1. Построение последовательности. По первой теореме Вейерштрасса, f (x) ограничена сверху на [ a, b ], то есть
По свойствам супремума, к нему можно подойти сколь угодно близко. Поэтому . Беря n =1,2,3,… получим последовательность { x 1, x 2, x 3,…} такую, что
.
2. Выделение подпоследовательности. Так как n a £ xn £ b, то по лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности { xn } можно выделить сходящуюся подпоследовательность
такую, что
, причем с Î[ a, b ] в силу его замкнутости.
3. Достижение супремума. Для нашей подпоследовательности верно условие
.
Переходя к пределу k ®¥, получим
.
Но , кроме того, в силу непрерывности f (x),
. В результате получим, что M £ f (c)£ M, то есть f (c)= M и супремум f (x) достигается в точке с. <
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 524 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!