Логарифмическая функция. Функция, обратная ax, называется логарифмической функцией, и обозначается logax

а) а > 1.

1. Так как. значения ax Î(0; +¥), то log ax определена для 0< x <+¥. 2. Так как ax строго монотонно возрастает, то log ax тоже строго монотонно возрастает. 3. Так как ax непрерывна, то и log ax тоже непрерывна. 4. . называется натуральным логарифмом и обозначается ln(x).

б) 0 < а < 1

1. log ax определена для 0< x <+¥. 2. log ax строго монотонно убывает. 3. log ax непрерывна. 4. .

Основное свойство логарифмической функции имеет вид:

.

Докажем это свойство. Действительно, используя тот факт, что логарифмическая функция является функцией, обратной показательной, мы можем записать

, .

Но тогда, используя основное свойство показательной функции, получаем

.

Снова используя тот факт, что логарифмическая функция является функцией, обратной показательной, получаем

,

что и требовалось доказать.

Можно показать, что log _ax – единственная непрерывная функция, удовлетворяющая свойству .

Другие важные формулы, касающиеся логарифмической функции

а) ;

б) .