Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Определения. Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если



Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке х 0, если .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.

а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f (x) в точке х 0 в виде

.

б) Так как , то непрерывность в точке х 0 можно записать в виде

.

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим D x = x - x 0 (приращение аргумента) и D f = f (x) - f (x 0) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х 0 означает, что , то есть бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Ведем обозначения:

,

если эти пределы существуют.

Определение 2. Функция f (x) называется непрерывной в точке х 0 слева (справа) если f (x 0)= f (x 0 – 0) (f (x 0)= f (x 0+0)). Очевидно, что непрерывность в точке х 0 означает непрерывность слева и справа одновременно.

Определение 3. Функция f (x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, то есть если

Обратите внимание, где стоит квантор , это важно.

Определение. Если функция f (x) не является непрерывной в точке х 0, то говорят, что в точке х 0 функция f (x) имеет разрыв.





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 306 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...