![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке х 0, если .
Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.
а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f (x) в точке х 0 в виде
.
б) Так как , то непрерывность в точке х 0 можно записать в виде
.
Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода
в) Обозначим D x = x - x 0 (приращение аргумента) и D f = f (x) - f (x 0) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х 0 означает, что , то есть бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.
Ведем обозначения:
,
если эти пределы существуют.
Определение 2. Функция f (x) называется непрерывной в точке х 0 слева (справа) если f (x 0)= f (x 0 – 0) (f (x 0)= f (x 0+0)). Очевидно, что непрерывность в точке х 0 означает непрерывность слева и справа одновременно.
Определение 3. Функция f (x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, то есть если
Обратите внимание, где стоит квантор , это важно.
Определение. Если функция f (x) не является непрерывной в точке х 0, то говорят, что в точке х 0 функция f (x) имеет разрыв.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 306 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!