Определения. Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если

Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.

а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f (x) в точке х ₀ в виде

.

б) Так как , то непрерывность в точке х ₀ можно записать в виде

.

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим D x = x - x ₀ (приращение аргумента) и D f = f (x) - f (x ₀) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х ₀ означает, что , то есть бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Ведем обозначения:

,

если эти пределы существуют.

Определение 2. Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀ слева (справа) если f (x ₀)= f (x ₀ – 0) (f (x ₀)= f (x ₀+0)). Очевидно, что непрерывность в точке х ₀ означает непрерывность слева и справа одновременно.

Определение 3. Функция f (x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, то есть если

Обратите внимание, где стоит квантор , это важно.

Определение. Если функция f (x) не является непрерывной в точке х ₀, то говорят, что в точке х ₀ функция f (x) имеет разрыв.