Решение линейных неоднородных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами,

т.е. уравнений вида , где .

На первый взгляд, здесь всё просто:

1. Отбросить правую часть и найти о бщее решение о днородного уравнения (см. предыдущий параграф).

2. Найти какое-нибудь ч астное решение н еоднородного уравнения .

3. Записать ответ: (см. § 5, теорема 3).

Так что нам осталось только научиться находить частное решение неоднородного уравнения. Здесь возможны варианты.

1. Если правая часть уравнения представляет собой произведение многочлена -й степени на показательную функцию:

,

и при этом

a) не является корнем характеристического уравнения, т.е.

,

то частное решение уравнения следует искать в этом же виде, т.е. в виде произведения многочлена -й степени на .

Например, если , то частное решение надо искать в виде

.

b) совпадает с одним из корней характеристического уравнения, т.е.

,

то частное решение уравнения следует искать в виде

.

Например, если , то частное решение будет таким:

.

c) ,

то частное решение уравнения ищем в виде

.

Например, если , то частное решение запишется так:

.

2. Если правая часть уравнения имеет вид

,

то надо считать, что . Теперь снова если

a) не является корнем характеристического уравнения, т.е.

,

то частное решение следует искать в виде

,

где и - некоторые числа.

Например, если , то частное решение примет такой вид:

.

Если , то частное решение будет таким:

.

b) является одним из корней характеристического многочлена, т.е.

,

то частное решение надо искать в виде

.

Например, если , то частное решение будет таким:

.

3. Если правая часть уравнения имеет общий вид, то нужно использовать уже частично знакомый нам метод вариации постоянных.