Упражнение. Решить задачу о распаде радия

Решить задачу о распаде радия. Первоначальная масса куска радия . Известно, что скорость уменьшения массы радия прямо пропорциональна его массе. Найти массу радия в произвольный момент времени, т.е. найти функцию .

2. Если в уравнении функция такова, что

,

где произвольное число, то оно называется однородным. Например, уравнение является однородным, а среди уравнений

,

уже не все являются однородными.

Для решения однородного уравнения нужно сделать замену , . После этого всегда получается уравнение с разделяющимися переменными.

3. Если уравнение может быть записано в виде

,

то оно называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. При этом если , то оно называется линейным неоднородным, если же , оно называется линейным однородным. Но при этом не надо путать его с просто однородным уравнением, задаваемым формулой при условии, что ! Например, уравнение является линейным неоднородным, а среди уравнений

,

,

уже не все являются линейными.

Для решения линейного неоднородного уравнения нужно сначала отбросить его правую часть и решить линейное однородное . Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Далее применять метод вариации постоянной.

4. Если уравнение может быть записано в виде

,

где - любое действительное число, то оно называется уравнением Бернулли. Заметь, что при уравнение Бернулли становится линейным уравнением. Например, уравнение является уравнением Бернулли. А среди уравнений

,

,

уже не все являются уравнениями Бернулли.

5. Если записать уравнение в виде

,

и при этом будет выполняться условие

,

то оно называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае является дифференциалом некоторой функции , причём , а . Требование означает равенство смешанных производных: . Уравнение можно переписать так: , следовательно, функция должна быть постоянной. Поэтому общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде . Например, уравнение является уравнением в полных дифференциалах, а среди уравнений

,

,

уже не все являются уравнениями в полных дифференциалах.