Решение линейных однородных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами,

т.е. уравнений вида , где .

Для этого достаточно найти два линейно независимых решения и этого уравнения, и тогда ответ будет таким:

(см. теоремы 1 и 2 в § 5).

Решения уравнения будем искать в виде

.

Потребуем, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению . Для этого подставим , , в уравнение:

,

.

Получившееся квадратное уравнение называется характеристическим уравнением. Теперь возможны три случая.

1. Корни действительны и различны: . В этом случае и - два линейно независимых решения. В самом деле:

,

поэтому ответ:

.

2. Два одинаковых корня: . В этом случае и являются линейно независимыми решениями уравнения . В самом деле, подставив функцию в уравнение, можно убедиться, что она является его решением:

,

.

.

Так как - корень уравнения , вторая скобка равна нулю. Первая скобка равна нулю, т.к., по теореме Виета, . Итак, - ещё одно решение уравнения . Нетрудно убедиться, что и - линейно независимые функции:

.

Таким образом, ответ: .

3. Корни комплексные: . В этом случае и являются линейно независимыми решениями уравнения .

Докажем это.

Так как является корнем характеристического уравнения,

,

отсюда система

Подставим в уравнение и покажем, что оно обращается в тождество. Сначала, правда, придётся найти первые две производные:

,

,

.

Множитель , общий для всех трёх слагаемых, мы для краткости писáть не будем:

.

Согласно системе, это выражение равно нулю, ч.т.д.

Аналогично можно показать, что функция также является решением уравнения . То, что эти два решения являются линейно независимыми, проверь самостоятельно.

Итак, если корни комплексные, то решение дифференциального уравнения имеет вид:

.