Упражнение. Среднестатистический студент не в состоянии выполнять трудноалгоритмизируемые виды деятельности

Среднестатистический студент не в состоянии выполнять трудноалгоритмизируемые виды деятельности.

В. А. Лукьянов

Глава VI. Дифференциальные уравнения.

Основные понятия.

Дифференциальным уравнением называется равенство вида

.

При этом число (наивысший порядок производной) называется порядком дифференциального уравнения. Например, - дифференциальное уравнение 1-го порядка, а - дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция , обращающая его в верное равенство. Например, функция является решением уравнения , а функция является решением уравнения . Нетрудно заметить, что любая функция вида , где - произвольное число, также является решением уравнения . Это решение зависит уже не только от , но и от , т.е. имеет вид . Все решения дифференциального уравнения записываются в виде , где и произвольные постоянные. В этом случае решение зависит от двух произвольных постоянных, т.е. имеет вид . И вообще, решение уравнения -го порядка зависит от произвольных постоянных и может быть записано так:

.

Решение дифференциального уравнения, зависящее от произвольных постоянных называется его общим решением. Т.е. - это общее решение уравнения ; - общее решение уравнения .

Если в общем решении дифференциального уравнения произвольным постоянным придать какие-то конкретные значения, мы получим частное решение дифференциального уравнения. Например, является частным решением уравнения . Функция является частным решением уравнения .

Иногда требуется найти не общее решение дифференциального уравнения, а именно частное решение, удовлетворяющее определённым требованиям, которые называются начальными условиями. Например, найти решение уравнения при условии, что . Это условие помогает найти постоянную из общего решения .

Задача Коши – найти частное решение д.у при заданных начальных условиях.

Упражнение.

Записать 2-й закон Ньютона

в виде дифференциального уравнения.