![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Среднестатистический студент не в состоянии выполнять трудноалгоритмизируемые виды деятельности.
В. А. Лукьянов
Глава VI. Дифференциальные уравнения.
Основные понятия.
Дифференциальным уравнением называется равенство вида
.
При этом число (наивысший порядок производной) называется порядком дифференциального уравнения. Например,
- дифференциальное уравнение 1-го порядка, а
- дифференциальное уравнение 2-го порядка.
Решением дифференциального уравнения называется функция , обращающая его в верное равенство. Например, функция
является решением уравнения
, а функция
является решением уравнения
. Нетрудно заметить, что любая функция вида
, где
- произвольное число, также является решением уравнения
. Это решение зависит уже не только от
, но и от
, т.е. имеет вид
. Все решения дифференциального уравнения
записываются в виде
, где
и
произвольные постоянные. В этом случае решение зависит от двух произвольных постоянных, т.е. имеет вид
. И вообще, решение уравнения
-го порядка зависит от
произвольных постоянных и может быть записано так:
.
Решение дифференциального уравнения, зависящее от произвольных постоянных называется его общим решением. Т.е.
- это общее решение уравнения
;
- общее решение уравнения
.
Если в общем решении дифференциального уравнения произвольным постоянным придать какие-то конкретные значения, мы получим частное решение дифференциального уравнения. Например,
является частным решением уравнения
. Функция
является частным решением уравнения
.
Иногда требуется найти не общее решение дифференциального уравнения, а именно частное решение, удовлетворяющее определённым требованиям, которые называются начальными условиями. Например, найти решение уравнения при условии, что
. Это условие помогает найти постоянную
из общего решения
.
Задача Коши – найти частное решение д.у при заданных начальных условиях.
Упражнение.
Записать 2-й закон Ньютона
в виде дифференциального уравнения.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 158 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!