Понижение порядка дифференциального уравнения

Бывают ситуации, когда имеется возможность понизить порядок дифференциального уравнения, т.е., например, удачной заменой переменной превратить уравнение второго или третьего порядка в дифференциальное уравнение первого порядка. Мы рассмотрим две возможности понизить порядок дифференциального уравнения .

1. Если в записи дифференциального уравнения отсутствует функция (а, возможно, и несколько первых её производных), т.е. уравнение имеет вид

,

то нужно сделать замену . В этом случае уравнение станет таким:

,

поэтому его порядок понизится на единиц. Решив уравнение относительно функции , нужно сделать обратную замену и найти функцию . Не забудь, что в общем решении должно быть ровно произвольных постоянных!

2. Если в записи дифференциального уравнения отсутствует независимая переменная , т.е. уравнение, например, имеет вид

,

то надо функцию считать независимой переменной, а - искомой функцией. В этом случае в исходное уравнение вместо нужно подставить

.

В этом случае порядок дифференциального уравнения понизится на единицу.