Задача 3. Длина ребра куба равна а

Длина ребра куба равна а. Найдите расстояние между непересекающимися диагоналями двух его смежных граней.

Решение:

Пусть АВ и СD – данные диагонали. Они лежат на скрещивающихся прямых.

Проведем через ребро АВ сечение куба плоскостью, параллельной ребру СD -

плоскость (АВЕ).

Рассмотрим треугольник АВЕ:

АВ = АЕ = ВЕ = а , как диагонали боковых граней куба.

ЕН = = = а .

СН = =

Применив теорему косинусов к треугольнику СЕН, получим:

СН = АС + ЕН - 2 * АС * ЕН * cos СЕН, т.е

= 3а + - 2 * * cos СЕН.

Упростив и приведя подобные слагаемые, получим:

cos СЕН = 4а , cos СЕН = .

Из треугольника СЕО:

СО = ЕС * sin СЕН = а * = = а * = а * = .

Ответ: .