Тема лекции 8. Обобщение и повторение курса стереометрии

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются пространственные фигуры.

Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В школьном курсе стереометрии изучаются параллельность и перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, плоскостей; углы между прямыми и плоскостями, двугранные и многогранные углы. Вводятся декартовы координаты в пространстве, векторы в пространстве, рассматриваются преобразования фигур в пространстве. При изучении векторов в пространстве получаем формулы, аналогичные векторам на плоскости. В курсе стереометрии изучаются геометрические тела: многогранники – призма, параллелепипед, пирамида; тела вращения – цилиндр, конус, шар. При этом следует заметить, что цилиндр и конус можно рассматривать как предельное положении правильных призмы и пирамиды при неограниченном увеличении числа сторон многогранника, лежащего в основании фигуры. Тогда многогранник стремится к кругу, боковое ребро призмы становится образующей цилиндра, а боковое ребро и апофема пирамиды, неограниченно приближаясь друг к другу, стремятся к образующей конуса. Данное замечание позволяет легко выводить формулы для вычисления площадей поверхности и объемов цилиндра и конуса из соответствующих формул для правильных призмы и пирамиды.

При решении задач часто применяется прием выделения планиметрической фигуры из данной стереометрической, при необходимости делается дополнительный планиметрический чертеж. Большую роль в решении стереометрических задач играют вопросы построения плоских сечений и нахождения взаимосвязей между элементами геометрических тел. Особое место занимают задачи на комбинированные геометрические фигуры, вписанные одна в другую, например: шар, вписанный в конус, призма, описанная вокруг цилиндра, конус, вписанный в цилиндр и т.д. Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость позволяет упростить решение некоторых задач. Рассмотрим примеры: