Для решения неравенств с несколькими переменными

используются свойства неравенств, неравенство Коши (среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому, т.е. ≥ ; ≥

где a ≥ 0, b ≥ 0).

Тема лекции 7. Обобщение и повторение курса планиметрии.

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур.

Планиметрией называется раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

В школьном курсе геометрии изучаются:

• Понятия теоремы, аксиомы, определения.
• Система аксиом.
• Геометрические фигуры – прямая, луч, отрезок, углы, треугольники, многоугольники, окружность, круг.
• Элементы фигур и взаимосвязь между ними.
• Взаимосвязь между элементами многоугольников и окружностей, вписанных в эти многоугольники или описанных вокруг них.
• Параллельность и перпендикулярность.
• Подобие фигур.
• Площади плоских фигур.
• Геометрические построения.
• Векторы.
• Преобразования плоскости.

Геометрические задачи разделяются на три вида:

1. Задачи на доказательство.
2. Задачи на построение.
3. Задачи на вычисление.

В задачах на доказательство выстраивается цепочка рассуждений, основанная на условии задачи (теоремы), аксиомах, теоремах, определениях, дополнительных построениях, в итоге приводящая к требуемому выводу. Особое место занимает метод доказательства от противного. Суть его состоит в том, что вначале делается предположение, противоположное тому, что утверждается условием задачи или теоремы. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы или уже доказанные ранее теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию задачи (теоремы), либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, было верным утверждение задачи (теоремы).

В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов, каковыми являются обычно линейка и циркуль. С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя, в частности, пользоваться ее шкалой. Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок от данной прямой до данной точки.

Решение задач на вычисление заключается в установке взаимосвязей между элементами рассматриваемой фигуры. Средствами решения задач являются аксиомы, теоремы, определения, дополнительные построения.

При решении геометрических задач важным вспомогательным средством является чертеж. Упражнения на готовых чертежах в процессе изучения новой темы способствуют скорейшему усвоению нового материала. При составлении чертежа необходимо отметить на нем исходные данные в виде штрихов, отмечающих равные отрезки, дуг, отмечающих равные углы и т.д. Нередко в решении задачи помогает выделение фрагмента фигуры, о котором имеется достаточно информации для того, чтобы сделать некоторые выводы, затем можно перейти к следующим фрагментам чертежа.

Одним из важных методов решения задач является метод координат. С этой целью следует вести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатах. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

Рассмотрим конкретные примеры.