Уравнения с одной переменной

Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства f(x) = g(x) поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство, называется корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти множество его корней или доказать, что их нет.

Множество всех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения уравнения. Для того, чтобы установить область определения уравнения, необходимо найти пересечение множеств, на которых определены функции f(x) и g(x).

Два уравнения называются равносильными на данном множестве, если они имеют одинаковые корни (или оба не имеют корней). Если среди корней есть совпадающие, то говорят, что у многочлена есть кратные корни. Поэтому два уравнения, имеющие одни и те же корни (без учета кратности), считаются равносильными.

Свойства равносильности уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одну и ту же функцию А(х), имеющую смысл при всех допустимых значениях переменного, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одну и ту же функцию

А(х) ≠ 0, имеющую смысл при всех допустимых значениях переменного, то получится новое уравнение, равносильное данному.

3. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Линейное уравнение a х = b имеет:

1. если a ≠ 0 - единственный корень х = - ;

2. если a = 0, b = 0 - бесконечное множество корней (х R);

3. если a = 0, b ≠ 0 – не имеет корней.

Пусть дано уравнение вида f (a,b,c,…k, x) = g (a,b,c,…k, x), где a,b,c,…k, x – переменные величины.

Переменные a,b,c,…k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют значения х, удовлетворяющие данному уравнению.

Уравнение вида a х + b x + с = 0, где a, b и с – некоторые числа, причем a ≠ 0, называется квадратным.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

х = ,

выражение b - 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня;

2. Если D = 0, то уравнение имеет два равных действительных корня (корень кратности два): х = - ;

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Если уравнение имеет вид a х + 2 k x + = 0, то удобнее пользоваться формулой корней

х = , где D = k - aс – дискриминант данного уравнения.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент a равен 1, называется приведенным.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде a х + b x + с = a (x – х )(х - х ), где х и х - корни трехчлена.

Основные методы решения уравнений высших степеней – замена переменной и разложение на множители. В отдельных случаях при решении уравнений целесообразно использовать свойства монотонности и ограниченности функций.

Алгебраическое уравнение четвертой степени вида

a х + b х + с = 0,

где a, b, с – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением.

Заменой х = y уравнение сводится к квадратному уравнению a х + b x + с = 0 с последующим решением двух двучленных уравнений х = y и х = y

(y и y - корни соответствующего квадратного уравнения).

Решение уравнений вида

a х + b x + с = 0

(а ≠ 0, k – натуральное число) заменой х = y сводится к решению квадратного уравнения a х + b x + с = 0 с последующим решением соответствующих двучленных уравнений.

Алгебраическое уравнение четвертой степени вида

a х + b х + c х + d х + e = 0

называется возвратным (e ≠ 0), если существует такое число ≠ 0, что между коэффициентами уравнения a, b, c, d, e имеют место соотношения d = b, e = a, или, что то же самое, имеет место равенство

= .

Используя эту связь между коэффициентами, уравнение можно записать в виде

a х + b х + c х + b х + a = 0.

Так как x = 0 не является корнем данного уравнения, то, разделив почленно обе его части на х и проведя группировку членов левой части уравнения, получим уравнение

a (х + ) + b (х + ) + c = 0.

Теперь заменой х + = y (учитывая, что х + = y - 2 ) последнее уравнение сводится к квадратному относительно y:

a y + b y + c - 2 a = 0.

Найдя y из этого уравнения, возвращаемся к подстановке и находим значение х.

Частным случаем возвратных уравнений являются симметрические уравнения

(соответствующие = 1)

a х + b х + c х + b х + a = 0

и кососимметрические (соответствующие = - 1)

a х + b х + c х - b х + a = 0.

Заменой х + = y для симметрического и х - = y для кососимметрического уравнений эти уравнения сводятся к квадратным уравнениям.

Уравнение четвертой степени вида

(х + b x + с)(х + b x + d) = k,

где b, c, d, k – некоторые действительные числа, заменой

х + b x = y

так же сводится к квадратному уравнению

y + (c + d) y – k = 0.

Решение уравнения вида

x (x + a)(х + b)(х + a + b) = с

может быть сведено к решению совокупности двух квадратных уравнений следующим способом:

Объединяя произведения первого с четвертым и второго с третьим множителей, стоящих в левой части уравнения, получаем уравнение

(х + (a + b) x)(х + (a + b) x + a b) = c,

которое заменой

х + (a + b) x = y

сводится к квадратному относительно новой неизвестной y.

При решении уравнений высших степеней с целыми коэффициентами можно для понижения степени использовать теоремы Виета и Безу и деление многочленов «уголком».

Если уравнение

a х + a х + … + a = 0, a ≠ 0

имеет целые коэффициенты, а старший коэффициент равен 1, то рациональными корнями этого уравнения могут быть только целые числа, являющиеся делителями свободного члена a . Если число k является одним из таких корней, то многочлен

P(x) = a х + a х + … + a

делится на (x - k).

Уравнения вида

(х - a)(х - )(x - c)(x - d) = А,

где a < < c < d, - a = d – c, можно решить, используя замену переменной, приводящей к симметризации уравнения:

y = = х - .

Для решения уравнения вида

(х - a) + (х - ) = А

также используют метод симметризации, делая замену y = = х - .

Уравнения вида

(х - a)(х - )(x - c)(x - d) = А х ,

где a = c d, сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений при помощи замены y = х + .

Пример. Решить уравнение

(х + 2)(х + 3)(х + 8)(х + 12) = 4 х .

Решение. Так как (-2)(-12) = (-3)(-8), то, перемножив в левой части уравнения первую и четвертую скобки, а так же вторую и третью, получим

(х + 14 х + 24)(х + 11 х + 24) = 4 х .

Так как х = 0 не является корнем данного уравнения, разделим обе части на х . Получим уравнение

(х + 14 + )(х + 11 + ) = 4.

Сделав замену y = х + , получим

(y +14)(y +11) = 4,

откуда y = -10, y = -15.

Таким образом, получаем совокупность двух уравнений

х + = -10 или х + = -15.

Решая ее получим ответ: х = -6, х = -4, х = , х = .

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля, можно свести к уравнениям, не содержащим знак модуля, используя определение модуля.

Рассмотрим решение уравнения, содержащего несколько слагаемых, находящихся под знаком модуля:

+ = с.

Отметим на числовой прямой точки a и b (нули функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую прямую на три промежутка. Отметим промежутки знакопостоянства для каждого из выражений х- a и х- b. Составим совокупность трех систем, каждая из которых задает один из промежутков и соответствующее этому промежутку уравнение, не содержащее знак модуля. Решение этой совокупности систем и будет являться решением исходного уравнения. Рассмотренный метод можно применить для любого числа слагаемых.

Рациональным называется уравнение вида

= 0,

где P(x) и Q(x) – многочлены (Q(x) тождественно не равен нулю).

Решение данного уравнения сводится к решению уравнения P(x) = 0 и проверке того, что его корни удовлетворяют условию Q(x) ≠ 0.