Уравнение вида

+ = С,

где ABC ≠ 0 ac ≠ 0, заменой переменной

y = a х +

cводится к решению уравнения

+ = С.

Аналогично решаются уравнения вида

= A

и = , A ≠ 0.

При решении рациональных уравнений иногда применяются методы:

- выделения полного квадрата;

- использующие однородность уравнения относительно некоторых функций;

- сведения к решению систем или совокупности уравнений;

- сведения к некоторым специальным уравнениям (квадратным, биквадратным, возвратным, симметрическим и т.п.);

- графический.

Основными методами решения систем уравнений являются методы:

- сложения (умножения, деления);

- подстановки;
- разложения систем (разложения на множители левой или правой части одного из уравнений);

- использования симметричности и однородности уравнений.

Система уравнений называется симметрической системой, если все многочлены в составе уравнений являются симметрическими, т.е. их значения не изменяются при любой перестановке их аргументов. Например, многочлены

,

,

………………………………………………..

,

………………………………………………..

являются симметрическими многочленами от n переменных и называются основными симметрическими многочленами.

Основными симметрическимимногочленами двух переменных х и y являются многочлены

и ,

а трех переменных х, y и z – многочлены

.

Метод решения симметрических систем состоит в представлении симметрических многочленов через многочлены от основных симметрических многочленов, т.к. любой симметрический многочлен может быть представлен в виде многочлена от основных симметрических многочленов. Отметим, что ответы при решении симметрических уравнений также обладают симметрией, т.е. остаются верными при любой перестановке аргументов.

При решении систем трех уравнений с тремя переменными можно использовать симметрию не по всем трем, а только по двум переменным, например:

u = x + y,

v = xy,

z = z.

Многочлен называется однородным, если все его слагаемые являются одночленами одинаковой степени. Система алгебраических уравнений от двух переменных х и y вида

p (x,y) = q (x,y)

p (x,y) = q (x,y)

называется однородной, если многочлены p p q q являются однородными, степень многочлена p q q равна степени многочлена p , а степень многочлена q равна степени многочлена q , при этом степени многочленов p и q однородной системы могут быть различными.

При решении системоднородных уравнений (или если система содержит одно однородное уравнение)используется подстановка

y = t x,

далее система разбивается на совокупности более простых систем.

Если функции F (x,y), …, F (x,y) определены на некотором множестве X, то на этом множестве система уравнений

F (x,y) *…* F (x,y) = 0,

Ф(x,y) = 0

равносильна совокупности систем

F (x,y) = 0, F (x,y) = 0,

Ф(x,y) = 0; …; Ф(x,y) = 0

Системы уравнений, не имеющие решений, называются несовместными. Как правило, несовместными оказываются системы уравнений, в которых число уравнений больше числа переменных. В некоторых случаях система имеет бесконечное множество решений, зависящих от одного или несколько непрерывно меняющихся переменных. В этом случае ее называют недоопределенной. Чаще всего недоопределенной оказывается система уравнений, в которой число уравнений меньше числа переменных.

Решение системы уравнений с двумя неизвестными

F(x,y) = 0,

Ф(x,y) = 0

геометрически истолковывается как отыскивание координат точек пересечения линий Г и Г , заданных уравнениями F(x,y) = 0 и Ф(x,y) = 0 соответственно. Этим можно воспользоваться для приближенного решения системы. Проверка покажет, приближенным или точным оказалось найденное решение.

Описанные методы решения систем алгебраических уравнений годятся и для уравнений более общего вида: тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных.