Понятие дифференциала функции. Рассмотрим функцию имеющую производную в данной точке

Рассмотрим функцию имеющую производную в данной точке . Согласно (9.4) приращение функции в точке можно пред­ставить в виде , где стремится к нулюпри , стремящемся к нулю.

Приращение функции состоит из двух частей: и . Главная часть приращения функции – это первое слагаемое . Вторая часть при представляет собой произведение двух бесконечно малых величин, следовательно, мало влияет на величину приращения функции .

Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента.

Дифференциал функции обозначается :

(11.1)

Рассмотрим функцию и найдем . Производная , поэтому . С другой стороны, из равенства следует равенство , следовательно, , или

,

(11.2)

т.е. дифференциал независимой переменной равен прираще­нию этой переменной. Формулу для дифференциала функции (11.1) на этом основании можно записать в виде

.

(11.3)

Пример 11.1. Дифференциал функции равен

Пример 11.2. Дифференциал функции равен

.

Свойства дифференциала:

1) , где .

2) .

3) .

4) .

5) .