И построение их графиков

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность – нечетность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Найти вертикальные асимптоты.
5. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
6. Найти интервалы монотонности функции и экстремумы.
7. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
8. Построить график функции.

Пример 10.15. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции – вся числовая ось, т.е. .

2. , т.е. функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Находим точки пересечения с осью , ее уравнение . Решаем:

Поскольку дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, других точек пересечения нет. Находим точки пересечения с осью , ее уравнение ; получаем ту же точку.

4. Функция определена на всей числовой оси, следовательно, точек разрыва нет, т.е. нет и вертикальных асимптот.

5. Исследуем поведение функции в бесконечности: . График функции горизонтальных асимптот не имеет. Найдем наклонные асимптоты.

, следовательно, наклонных асимптот график функции также не имеет.

6. Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Вычислим . Производная функции определена на всей числовой оси; в точках и . Поскольку при , а при и при (рис. 10.14) ВСТАВИТЬ, то - точка минимума функции и . В точке производная функции знак не меняет, следовательно, эта точка не является точкой экстремума. На интервале функция убывает, на интервале функция возрастает.

7. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба. Вычислим . Вторая производная функции в точках и .Очевидно, что на интервалах и , следовательно, на этих интервалах функция вогнута; на интервале , на этом интервале функция выпукла (рис. 10.15) ВСТАВИТЬ. Точки и являются точками перегиба. Значения функции в этих точках и .

8. График функции изображен на рис. 10.16. ВСТАВИТЬ

Пример 10.16. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции , т.е. .

2. , т.е. функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Находим точки пересечения с осью , ее уравнение . Решаем:

График функции пересекает ось в точке (1;0). Находим точки пересечения с осью , ее уравнение ; получаем Точка пересечения с осью (0;-1).

4. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точке . Находим односторонние пределы функции в этой точке:

.

, т.е. прямая является вертикальной асимптотой.

5. Исследуем поведение функции в бесконечности:

, . График функции горизонтальных асимптот не имеет. Найдем наклонные асимптоты.

;

, следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика функции.

6. Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Вычислим Производная функции не существует в точке , которая не является критической, т.к. не принадлежит области определения функциии; в точках и . Поскольку при , а при и при (рис. 10.17) ВСТАВИТЬ, то точка - точка максимума функции и . В точке производная функции знак не меняет, следовательно, эта точка не является точкой экстремума. На интервале функция убывает, на интервалах и функция возрастает.

7. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба. Вычислим

Вторая производная функции не существует в точке , которая не принадлежит области определения функциии; в точке . Очевидно, что на интервалах и , следовательно, на этих интервалах функция выпукла; на интервале , на этом интервале функция вогнута (рис. 10.18) ВСТАВИТЬ. Точка является точкой перегиба. Значение функции в этой точке .