![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:
Пример 10.15. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
1. Область определения функции – вся числовая ось, т.е. .
2. , т.е. функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Находим точки пересечения с осью , ее уравнение
. Решаем:
Поскольку дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, других точек пересечения нет. Находим точки пересечения с осью , ее уравнение
; получаем ту же точку.
4. Функция определена на всей числовой оси, следовательно, точек разрыва нет, т.е. нет и вертикальных асимптот.
5. Исследуем поведение функции в бесконечности: . График функции горизонтальных асимптот не имеет. Найдем наклонные асимптоты.
, следовательно, наклонных асимптот график функции также не имеет.
6. Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Вычислим . Производная функции определена на всей числовой оси;
в точках
и
. Поскольку при
, а при
и при
(рис. 10.14) ВСТАВИТЬ, то
- точка минимума функции и
. В точке
производная функции знак не меняет, следовательно, эта точка не является точкой экстремума. На интервале
функция убывает, на интервале
функция возрастает.
7. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба. Вычислим . Вторая производная функции
в точках
и
.Очевидно, что
на интервалах
и
, следовательно, на этих интервалах функция вогнута;
на интервале
, на этом интервале функция выпукла (рис. 10.15) ВСТАВИТЬ. Точки
и
являются точками перегиба. Значения функции в этих точках
и
.
8. График функции изображен на рис. 10.16. ВСТАВИТЬ
Пример 10.16. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
1. Область определения функции , т.е.
.
2. , т.е. функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Находим точки пересечения с осью , ее уравнение
. Решаем:
График функции пересекает ось в точке (1;0). Находим точки пересечения с осью
, ее уравнение
; получаем
Точка пересечения с осью
(0;-1).
4. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точке . Находим односторонние пределы функции в этой точке:
.
, т.е. прямая
является вертикальной асимптотой.
5. Исследуем поведение функции в бесконечности:
,
. График функции горизонтальных асимптот не имеет. Найдем наклонные асимптоты.
;
, следовательно, прямая
является наклонной асимптотой графика функции.
6. Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Вычислим Производная функции не существует в точке
, которая не является критической, т.к. не принадлежит области определения функциии;
в точках
и
. Поскольку при
, а при
и при
(рис. 10.17) ВСТАВИТЬ, то точка
- точка максимума функции и
. В точке
производная функции знак не меняет, следовательно, эта точка не является точкой экстремума. На интервале
функция убывает, на интервалах
и
функция возрастает.
7. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба. Вычислим
Вторая производная функции не существует в точке , которая не принадлежит области определения функциии;
в точке
. Очевидно, что
на интервалах
и
, следовательно, на этих интервалах функция выпукла;
на интервале
, на этом интервале функция вогнута (рис. 10.18) ВСТАВИТЬ. Точка
является точкой перегиба. Значение функции в этой точке
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 326 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!