Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Рассмотрим дифференцируемую функцию .Функция называется выпуклой на интервале , если все точки графика расположены ниже любой касательной, проведенной к графику функции, и вогнутой, если точки графика расположены выше касательной.

Обратимся к рис. 10.10. На интервале функция выпуклая, на интервале – вогнутая.

Точка, в которой меняется направление выпуклости функции, называется точкой перегиба. На рис. 10.10 точкой перегиба является точка .

Для дважды дифференцируемых функций выполняются следующие теоремы.

Теорема 1. Если вторая производная функции положительна (отрицательна) на интервале , то функция является вогнутой (выпуклой) на этом интервале.

Теорема 2 (необходимое условие перегиба). Если точка является точкой перегиба данной функции, то вторая производная обращается в точке в нуль или не существует.

Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точ­ку меняет свой знак, то точка явля­ется точкой перегиба данной функции.

Из этих теорем вытекает схема исследования на выпуклость и вогнутость дважды дифференцируемой функции :

1) находим вторую производную ;

2) находим точки, в которых или не существует;

3) найденные точки делят область определения второй производной на интервалы, в каждом из которых сохраняет свой знак. На интервалах, где , функция является выпуклой, на интервалах, где – вогнутой;

4) находим значения функции в точках перегиба.

Пример 10.12. Функция выпукла на интервале , вследствие того, что , и вогнута на интервале , т.к. ; следовательно, точка является точкой перегиба.