Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции

Напомним, что функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если для любых и из этого интервала, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Теорема. Если функция , дифференцируемая на интервале , не убывает (не возрастает) на этом интервале, то ее произ­водная неотрицательна (неположительна), т. е.

Доказательство. Пусть х – произвольное значение из интервала . Придадим этому значению х приращение , такое, чтобы точка принадлежала интервалу . Если – неубывающая функция, то при и при . В обоих случаях и, следовательно,

.

Если –невозрастающая функция, то и .

Теорема. Если функция , дифференцируемая на интервале , удовлетворяет условию , то эта функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Доказательство. Согласно теореме Лагранжа,

,

где , , . Следовательно, если , и , то , т.е. и данная функция возрастает для всех .

Если и , то , т.е. , и данная функция убывает для всех .

Пример 10.6. Найдем интервалы возрастания и убывания функции . Производная функции на интервале . Следовательно, функция убывает для всех . Производная на интервале , следовательно, функция возрастает для всех .

Функция имеет в точке (рис. 10.4) локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство .

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. По определению, экстремумы могут достигаться лишь внутри области определения.

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция , дифференцируемая в интервале , имеет в точке , экстремум, то ее производная в этой точке, если она существует, равна нулю.

.

(10.2)

Эта теорема является следствием теоремы Ферма.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (производная равна нулю или не существует), называются стационарными (или критическими).

Таким образом, если в какой либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Обратное утверждение неверно. Критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

Пример 10.7. Функция не имеет экстремума в точке , хотя ее производная обращается в этой точке в нуль (рис. 10.5).

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через критическую точку производная дифференцируемой функции ме­няет знак с плюса (минуса) на минус (плюс), то в точке функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку производная знака не меняет, то в этой точке функ­ция экстремума не имеет.

Доказательство. Допустим, что меняет знак с плюса на минус. Тогда в достаточно малой окрестности точки слева от функция возрастает и , а справа от нее функция убывает и . Следовательно, для всех х из достаточно малой окрестности точки (кроме самой этой точки) выполняется неравенство , т. е. в точке функция имеет максимум.

Доказательство в случае обратной смены знака аналогичное.

Предположим, что при переходе через точку производная функции не меняет знак. Тогда как слева, так и справа от функция либо возрастает, либо убывает, следовательно, не имеет экстремума.

При исследовании функции на экстремум с помощью первой производной

1) находим производную функции ;

2) находим критические точки функции, т.е. корни уравнения , или точки, в которых производная не существует;

3) вычисляем знак слева и справа от каждой критической точки и делаем вывод о наличии экстремумов функции;

4) вычисляем значения функции в точках экстремума.

Пример 10.8. Найдем экстремумы функции . Находим производную . Точек, в которых производная не существует, у данной функции нет – определена на всей числовой оси. Приравнивая ее к нулю, получаем , или . Если , то , если , то . Следовательно, точка является точкой максимума функции. Вычисляем соответствующее значение функции (рис. 10.6).НАДО ИЗМЕНИТЬ 4.10

Пример 10.9. Найдем экстремумы функции . Область определения функции – вся числовая ось. Находим производную . Точек, в которых производная равна нулю, нет. Производная функции не существует в точке . Если , то , если , то . Следовательно, точка является точкой минимума функции. Вычисляем соответствующее значение функции (рис. 10.7).ВСТАВИТЬ

Теорема (второе достаточное условие существования экстремума). Пусть функция имеет в точке и ее окрестности непрерывные первую и вторую производные, причем , . Тогда функция имеет в точке минимум (максимум), если ().

Пример 10.10. Найдем экстремумы функции . Вычисляем производные , . Приравнивая первую производную к нулю, получаем , . В точке функция имеет максимум, т.к. , а в точке минимум, т.к. .

(рис. 10.8).-ВСТАВИТЬ