Свойства дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Если функция , определенная в интервале , достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего или наименьшего значения, и существует конечная производная , то .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что касательная к графику функции в точке с параллельна оси абсцисс (рис. 10.1).

Теорема Ролля. Если функция , непрерывная на отрезке и дифференцируемая в интервале , принимает на концах этого отрезка равные значения , то в интервале , существует точка с, такая, что .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если ординаты кривой на концах отрезка равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис. 10.2).

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то внутри интервала найдется такая точка с, что .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что на графике функции , где , существует такая точка с, что касательная к графику в этой точке параллельна хорде AB (рис. 10.3).

Следствие 1. Если функция имеет равную нулю производную на некотором интервале , то функция является постоянной на этом интервале.

Следствие 2. Если две функции и имеют равные производные во всех точках интервала , то они отличаются на одну и ту же постоянную величину для всех х из этого интервала.