Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальные (рис. 10.11), горизонтальные (рис.10.12) и наклонные (рис. 10.13).ВСТАВИТЬ

Нахождение асимптот графика основано на следующих теоремах.

Теорема 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, возможно, саму точку ) и хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

Очевидно, что прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке , т.к. в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.

Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечный предел функции . Тогда прямая является горизонтальной асимптотой графика функции .

Замечание. Если конечен только один из пределов или , то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы функции и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Наклонная асимптота, так же как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

Пример 10.12. Найдем асимптоты графика функции

. Функция не определена в точке . Вычислим пределы функции при : . Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой.

Пример 10.13. Найдем асимптоты графика функции

. Очевидно, график функции не имеет вертикальных асимптот (нет точек разрыва). Вычислим пределы функции при : . Следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой.

Пример 10.14. Найдем асимптоты графика функции

. Очевидно, график функции не имеет ни вертикальных асимптот (нет точек разрыва), ни горизонтальных асимптот, т.к. . Найдем наклонную асимптоту:

;

.

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой.