Правило Лопиталя

Теорема. Пусть в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой точки ) функции и дифференцируемы и .

Если или , т.е. частное в точке представляет собой неопределенность вида или , то

(10.1)

если предел в правой части равенства существует.

Замечание 1: Правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей можно пользоваться и при .

Замечание 2: Если частное в точке также представляет собой неопределенность вида или , то правило следует применить второй раз (т.е. перейти к отношению вторых производных и т.д.).

Замечание 3: В случае неопределенности вида или следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида или и затем воспользоваться правилом Лопиталя.

Пример 10.1. Найти предел .

Числитель и знаменатель стремятся к нулю при , поэтому имеем неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя, т.е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций:

Пример 10.2. Найти предел .

Это также неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя:

Здесь правило Лопиталя применено дважды.

Пример 10.3. Найти предел .

Это – неопределенность вида . Применим правило Лопиталя:

Пример 10.4. Найти предел .

Здесь мы имеем неопределенность вида . Представим произведение функций в виде частного, а затем, получив неопределенность вида , применим правило Лопиталя:

Пример 10.5. Найти предел .

Это – неопределенность вида . Для того, чтобы найти предел функции, приведем дроби к общему знаменателю, а затем, получив неопределенность вида , применим правило Лопиталя: